运用代数思想 提升思维能力

黄永红

“x+bx=c的应用”是人教版数学五年级上册第五单元“实际问题与方程”的例4。本课时在学生会用字母表示数、会解简易方程的基础上，引导学生运用代数思想解决生活中的实际问题，为中小学数学衔接做铺垫。

一、设未知数，感悟代数思维的优越性

小学阶段以算术思维为主，从算术思维过渡到代数思维，对学生来说有一定的困难，这也是教学的难点。教学时，笔者采取渗透的方式，循序渐进地让学生接触代数思想，用代数思维解决问题，从中感悟代数思维的优越性。

上课伊始，笔者呈现例4，先让学生阅读题目“地球的表面积为5.1亿平方千米，其中，海洋面积约为陆地面积的2.4倍”，引导学生找出题中的已知条件“海洋面积+陆地面积=5.1亿平方千米;海洋面积=陆地面积×2.4”，明确问题是“求地球上海洋面积和陆地面积各是多少”。

然后，笔者引导学生设未知数解决问题。学生已有的经验是“求什么设什么”，现在面临一道题要求两个未知数，究竟设哪个为x，另一个又怎样表示呢？为了突破这一难点，笔者设疑：“如果设陆地面积为x亿平方千米，那么海洋面积可以怎样表示？”一名学生说：“海洋面积可以表示为2.4x亿平方千米。”笔者追问：“你的依据是什么？”他回答：“根据是‘海洋面积=陆地面积×2.4’。”笔者接着设疑：“海洋面积除了用2.4x表示，还可以怎样表示？”另一名学生说：“海洋面积还可以表示为‘5.1-x’亿平方千米。”笔者追问：“你的依据是什么？”他说：“根据是‘海洋面积=地球表面积-陆地面积’。”笔者及时肯定了学生的回答，并总结：用方程解决问题，若有两个未知数时，就设其中一个未知数为x，另一个未知数根据数量关系，用含x的式子表示，这样使两个未知数都变成了含字母x的式子，都可以参与列方程及运算。

接着，笔者设计了一道辅助练习题：学校科技组有男生x人，女生人数是男生人数的3倍，女生有（   ）人，一共有（   ）人，女生比男生多（   ）人。一名学生回答：“学校科技组有男生x人，女生就有3x人，一共有‘x+3x’人，女生比男生多‘3x-x’人。”

经历了上述学习过程，学生逐步感悟、适应了用字母代表数的优越性。

二、列方程，体验代数思维的灵活性

代数思维能摆脱算术思维方法中的一些局限，如需要逆向思考，即未知数不参加运算，相当于少了已知条件，这时就需要逆向思考，便增加了思维难度。教师在引导学生运用代数思维的过程中，充分体验代数思维的灵活性。

教学“列方程”时，基于学生实际，笔者出示过渡题：已知地球上的陆地面积是1.5亿平方千米，海洋面积是陆地面积的2.4倍，地球表面积是多少？学生很快列出算式并算出结果：1.5+1.5×2.4=5.1（亿平方千米）。筆者接着设疑：“你还可以根据哪个条件提供的等量关系来列方程呢？”一名学生回答：如果设陆地面积为x亿平方千米，根据“海洋面积是陆地面积的2.4倍”，则海洋面积可以表示为2.4x亿平方千米，再根据“陆地面积+海洋面积=5.1”列出方程“x+2.4x=5.1”。另一名学生回答：设陆地面积为x亿平方千米，也可以根据“海洋面积=地球表面积-陆地面积”来表示海洋面积，即“5.1-x”亿平方千米，再根据“陆地面积×2.4=海洋面积”列出方程“2.4x=5.1-x”。笔者及时肯定了学生的答案，并总结：题目中已知的两个等量关系，一个用于表示第二个未知数，另一个就是列方程的依据。

然后，笔者将过渡题的算式和方程进行对比：1.5+1.5×2.4=5.1;x+2.4x=5.1。这样对比，让学生明白过渡题的算式是用数字表示数量关系;方程则是用含字母x的式子表示数量关系。这样教学，帮助学生建立了新旧知识的联系，进一步理解了数量关系。

三、解方程，验证代数思维的合理性

解方程的过程实际上是一连串依据等式性质的演绎推理过程，最终将原方程转化为与其等价的“x=？”的形式。“x=？”是方程变形的目标。教学时，教师要让学生在理解变形依据、过程的基础上，掌握方程的解法。

引导学生解方程“x+2.4x=5.1”时，笔者设疑：“从方程‘x+2.4x=5.1’到‘（1+2.4）x=5.1’运用了什么运算定律？”一名学生回答：“运用了乘法分配律。”笔者追问：“你的理论依据是什么？”他说：“方程左边可以看成‘1×x+2.4×x’，这两个积中都有一个相同因数‘x’，根据乘法分配律，方程左边可变成‘（1+2.4）x’。”笔者继续设疑：“从方程‘3.4x=5.1’到‘3.4x÷3.4=5.1÷3.4’运用了什么性质？”另一名学生回答：“根据‘等式两边同乘一个数，或除以同一个不为0的数，左右两边仍相等’的性质。”

接下来，笔者让学生解方程。学生求出x的解后，笔者设疑：“陆地面积是1.5亿平方千米，那海洋面积是多少？”学生回答：“海洋面积是‘5.1-1.5=3.6’亿平方千米。”笔者追问：“还可以用什么方法求海洋面积？”他回答：“还可以用‘2.4x=2.4×1.5=3.6’求海洋面积。”

最后，笔者引导学生检验：“我们求出的两个未知数是否正确呢？用什么方法检验？”有学生回答：“可以将x的值代入方程检验，看方程的左右两边是否相等，即方程的左边=x+2.4x=1.5+1.5×2.4=5.1=方程的右边，所以x=1.5是原方程的解。”还有学生回答：“还可以将两个得数代入两个数量关系式中，看是否满足‘陆地面积+海洋面积=5.1’‘海洋面积÷陆地面积=2.4’这两个已知条件，即‘1.5+3.6=5.1’亿平方千米，‘3.6÷1.5=2.4’。”

经历多次代数思维的运用过程，学生发现了代数思维具有变逆向思考为正向思考的优势，发现问题、分析问题、解决问题的能力得到提升。

（作者单位：应城市汤池镇中心学校）

责任编辑  张敏