聚焦符号意识 培养代数思维

李娟

符号是数学思维和数学推理的基本要素。符号的使用是数学表达和进行数学思考的重要形式。代数思维的显著特征是符号语言的运用。基于此，笔者从符号意识的角度，谈一谈如何培养学生的代数思维。

一、渗透等价关系，在关系思维中萌发代数意识

在低年级段，学生就认识了数字符号（1、2、3……）、关系符号（=、>、<）和运算符号（+、-）等。要培养学生的代数思维，就必须使学生对等号的认识从程序观念转变到关系观念上来。然而，低年级段学生的思维还处在具体运算阶段，很难以形式运算的思维去理解算式背后的結构和关系。具体表现为，看到“=”就想算出结果，如9+4=（？）+7，学生高频率地出现括号里面填“13”的错误现象。这主要源于学生对“=”意义的理解不全面，往往将等号视为连接运算结果的一种操作符号，很少将等号视为表示平衡或等价关系的一种关系符号。

基于以上认识，教师应在培养低年级段学生算术思维的过程中，应充分利用教材中的素材，向学生渗透代数思维。如在教学数的组成与分解时，教师可以将“10可以分成1和9”写成“10=1+9”，将“9和1组成10”写成“1+9=10”，也可以通过引导学生观察“12=6+（？）”“（？）+（？）=8+4”“25+32=（  ）+30”等式子，使学生认识到“=”的左右两边是一种等价关系，改变“左边是算式，右边是得数”“看到等号就计算”等思维定式，进而超越算术思维，运用关系思维理解等号的等价内涵。

二、利用符号表征，在表达和概括中发展代数思维

代数思维的核心是数量关系和变化规律的一般化，而符号语言是代数中最重要的元素。符号语言表征常常以抽象为基础，重视学生体验、概括的过程。

1.自然语言符号化

教师应注重情境的多元表征，帮助学生在不同的表征方式之间建立联系，并通过对比分析，体会符号语言的概括性。例如：在学习“加法结合律”时，教师可以引导学生将“三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变”的自然语言，用符号语言予以简化描述，如（￡+△）+○=￡+（△+○）、（a+b）+c=a+（b+c）等，并对符号可以代表哪些数进行讨论，帮助学生理解符号可以代表任意一个数，体会符号语言的一般化。后续教学中，教师可以将这种表征方式迁移运用到乘法运算定律和各种运算性质的学习中，促进学生代数思维的发展。

2.数量关系符号化

在教学《用字母表示数》时，教师通常会引入“数青蛙”的活动，先给出具体数量，让学生直观感知青蛙只数与嘴的张数、眼睛只数及腿的条数之间的关系;然后让学生用自己的方式填一填“（  ）只青蛙（  ）张嘴，（  ）只眼睛（  ）条腿”;最后通过比较，让学生体验用字母表示数量关系的简洁性与一般性，如n只青蛙n张嘴，“n×2”只眼睛，“n×4”条腿。这样的探索过程符合学生思维发展的特点，较好地实现了由具体到抽象的思维过渡。

三、运用符号模型，在运算和推理中提升代数思维

代数思维主要表现为利用符号系统表征研究对象的结构与关系，其本质是数学建模。在数学建模的过程中，具体的数先抽象为符号，再经过运算、推理建立模型。这一过程指向数学抽象、逻辑推理和数学建模三个数学基本思想，能有效提升学生的代数思维水平。

1.模型构建

模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。在教学中，我们应充分利用新旧知识之间的联系，让学生经历完整的建模过程，发展代数思维。例如，探究圆的面积公式时，笔者先用多媒体演示把圆分成若干偶数等份，拼成一个近似的长方形的过程;然后引导学生观察发现，长方形的长a近似于圆周长的一半（[πd2）]，宽b近似于圆的半径r;最后引导学生完成运算推理，即由长方形的面积[s=ab]推知圆的面积[s=ab]=[πd2r]=[2πr2r]=[πr2]。在推导的过程中，学生利用长方形的长和宽与圆的周长和半径之间的联系，建立等价关系[s=ab]=[πd2r]，经过运算和推理得到[s=πr2]，在一般化的符号运用过程中提升了代数思维水平。

2.模型应用

数学建模的过程包括“问题抽象—建立模型—解释或应用”三个阶段。模型的解释或应用过程是学生深度理解数学模型，提升代数思维水平的关键一环。例如，判定“任意两个相邻自然数的和一定是奇数”这个命题时，无论学生举再多实例，都无法通过完全归纳法得出相应结论，因为自然数的个数是无限的，但是，如果从代数思维出发，把两个相邻的自然数分别用n和n+1来表示，通过计算n+n+1=2n+1，就可清楚地判定任意两个相邻自然数的和一定是奇数。这样的学习过程，能让学生充分体会到模型思想的价值所在，进而悦纳符号，发展代数思维。

总之，代数思维的培养重在关系的符号化，以及对符号的运算。它是在算术的基础上发展起来的，但它们的思维方法有本质区别。学生代数思维的培养不仅需要积累算术经验，还需要把握代数思维发展的阶段性，结合教材内容，循序渐进地进行。

（作者单位：枣阳市教学研究室）

责任编辑  刘佳