对一道高考客观压轴题的研究与备考建议

刘海涛

(安徽省芜湖市第一中学 241000)

《中国高考评价体系》指出：“高考要求学生能够触类旁通、融会贯通，既包括同一层面、横向的交互融合，也包括不同层面之间、纵向的融会贯通”.在教学过程中，对于一些典型问题，尤其是高考真题，如果我们能够从不同角度思考，寻求不同的解法，以一题多解的方式寻求知识间的内在联系，构建知识的网络体系，加深对问题的本质认识，定会拓宽解题视野，发散解题思维，提升学习兴趣，提高解题能力.本文是笔者对一道高考真题的研究，现与读者分享交流.

1 真题呈现与分析

A.a

分析该题形式上以对数式和根式为载体，考查比较实数的大小关系，试题结构虽简单、明了，但综合性强、内涵丰富，主要考查对数的运算性质，构造函数比较大小，不等式的性质等知识，体现了逻辑推理、数学运算等数学核心素养，强化了综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力.

2 解法探究

解析因为1.012=(1+0.01)2>1+2×0.01=1.02，所以a=ln1.012>b，于是排除选项A,D.余下的选项A,C只需比较a,c大小即可.

由(1+x)2-(1+4x)=x(x-2)<0，得

则f′(x)>0，函数f(x)在(0,1)上单调递增.

有a-c=f(0.01)>f(0)=0.

即a>c.故选B.

则f′(x)>g′(x)>0，函数f(x)和g(x)在(0,1)上都单调递增，但函数f(x)的增长快于函数g(x)，于是a=f(0.01)>g(0.01)=c，故选B.

评注根据a,c的数式特征，构造两个函数f(x)和g(x)，注意到f(0)=g(0)=0后，根据函数的增长率大小来比较大小，方法巧妙新颖，过程简洁，给人耳目一新的感觉.实际上，可以再根据b的数式特征构造函数h(x)=ln(1+2x)，比较三个函数的增长率便可直接得出答案，如图1,为三个函数在区间(0,1)上的图象.

图1

思路3由于a,c分别为对数式与根式，不易直接比较大小，不难思考利用中间量比较大小.

显然f′(x)>0，函数f(x)在(1,+∞)上单调递增，所以f(1.01)>f(1)=0.

即a>c.故选B.

显然f′(x)>0，函数f(x)在(0,+∞)上单调递增，所以f(0.01)>f(0)=0.

即2ln1.01>0.02-0.0001.即a>c.故选B.

评注该法借助泰勒展开式对a,c进行估值，通过估值比较大小.作为选择压轴题，该题具有高等数学知识背景，若我们适当了解一些泰勒展开式的有关知识，则可“高观点”地分析问题、解决该题，使得解答过程简洁明了.

3 试题蕴含的背景不等式

通过上述解答，我们不难发现该题蕴含了如下不等式：

(1)伯努利不等式：(1+x)α≥1+αx(x>-1，α>1，当x=0时等号成立).

我们在比较a,b大小时，实际是比较1.012与1.02的大小，事实上(1+0.01)2>1+2×0.01，即1.012>1.02.

4 高考备考建议

4.1 多角度思考问题，寻求一题多解

在日常的解题教学中，我们不能仅止步于问题的解决，而应该教会学生从不同的角度去分析问题，寻求不同的解法，通过一题多解发现知识间的内在联系，体会知识间的转化与化归，构建知识间的网络体系.本题中，我们从五个角度思考问题，给出5种比较实数a,c大小关系的方法，其中方法1从函数单调性的角度比较大小；方法2从函数增长率的角度比较大小；方法3和方法4利用中间量比较大小，分别介绍了两种寻找中间量的不同方法；方法5基于高等数学泰勒展开式的“高观点”，利用近似值比较大小.得到以上不同解法，思维方式的不同带来解答形式的不同，给考生极大的思考与解答空间，在运算量和解答时间上出现差别，区分出不同层次的考生，具有很好的信度与区分度.

4.2 注重通性通法，以不变应万变

《普通高中数学课程标准(2017年版)》指出：在数学高考命题中，考查内容应围绕数学内容主线，聚焦学生对重要数学概念、性质、方法的理解和应用，强调基础性；注重数学本质和通性通法.在高考备考教学中，教师应加强基础知识、基本技能和基本数学思想方法的训练.我们寻求一题多解，但不能满足于一题多解，对于一些常考题型，甚至于必考题型，教师要指导学生总结该类问题的通解通法，形成解题模型.近些年，高考卷中对指、对、幂函数值大小比较的考查，重要集中在指对互化，三类函数的运算性质、图象、单调性、不等式的相关性质等知识，难度有加大趋势，基本集中在选择题后三题中.因此，重视指、对、幂函数的图象与性质的掌握，作差、商比较大小，函数单调性法、图象法、中间量法等方法的训练，只有扎实掌握了这些通性通法，在高考中才能“以不变应万变”.

4.3 探寻问题蕴含背景，看透问题本质

高考试题凝聚着命题人的心血与智慧，是命题者反复考量与打磨才成型的，对教师的教学具有导向性与启示性.对高考题进行深入研究，挖掘命题背景，也是教师日常教研的一项基本任务，反映了教师本身的业务素养与能力.笔者通过对问题的解法进行探究，挖掘出试题蕴含的不等式背景，若日常的备考中，教师能指导学有余力的学生适当掌握一些常见的不等式模型，甚至适度了解一些高等数学的知识，这样在遇到一些以特殊模型或高等数学知识为背景命制的考题时，学生才能快速看清问题的本质，找准解题的方法，顺利完成考试.