对接赋值非良策化整为零乃妙方

叶诚理 林新建 林品玲

摘要：将函数、导数、数列、不等式结合的综合问题是近年来高考的热门题型.解题者遵循“求和看通项”这种化整为零的思路破解这类试题，而命题者则遵循“从通项生成和”这种逆向思维命制试题，本文试图从命题者的角度出发，探析这一类数列不等式求和问题的命题背景并进行深入剖析，提高学生分析问题和解决问题的能力，让解题更自然，找到高效的解题方法.

关键词：化归转化;化整为零;数学直观

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2022）07-0045-03

收稿日期：2021-12-05

作者简介：叶诚理（1979.4-），男，福建省福清市人，教育硕士，中学一级教师，从事高中数学教学研究.[FQ）]

以函数、导数为背景的数列求和取值范围问题，是近年来高考压轴题的常客.对非常规的数列求和问题学生往往束手无策，需要从数学思想方法的高度对问题进行化归转化、构造赋值，难度极高.那么，有没有比较自然的解题策略呢？下面举一道典型例题加以剖析.

1 试题呈现

例1已知函数f（x）=ln（ax+1）-x-2x+2（a>0，x≥0）.

（1）当a=12时，讨论函数y=f（x）的单调性;

（2）若不等式f（x）≥1在x∈[0，+

SymboleB@

）时恒成立，求实数a的取值范围;

（3）证明：13+15+17+…+12n+1<12ln（n+1）（n∈N*）.

2 命题意图分析

本题考查导数及其应用，旨在运用导数研究函数的单调性、不等式恒成立问题以及构造函数证明数列不等式的方法，综合性较强，考查学生分析问题和解决问题的能力，考查学生的数学抽象、直观想象和逻辑推理等核心素养.

3 解答难点剖析

本题难在第（3）问，对于这类出现在导数压轴题中的数列求和不等式问题，常见的解题套路是对接前面的函数不等式结论，对变量x有效赋值，结合对数运算，从而构造与结论相匹配的数列通项，利用数列求和的裂项相消法证得不等式.

证明由（2）知：当a=1时，不等式f（x）>1在x∈（0，+

SymboleB@

）时恒成立，即ln（x+1）>2xx+2对x∈（0，+

SymboleB@

）恒成立.

令x=1k（k∈N*），

得ln（1k+1）>21+2k.

即11+2k<12[ln（k+1）-lnk].

所以13<12（ln2-ln1），

15<12（ln3-ln2），

17<12（ln4-ln3），

…，12n+1<12[ln（n+1）-lnn].

将上述式子相加可得：

13+15+17+…+12n+1

<12[ln（n+1）-ln1]

=12ln（n+1）.

原不等式得证.

评析对考生而言，完成以上这样的对接赋值具有极高的难度，需要较强的数学抽象能力和直观想象能力，他们往往束手无策，望题兴叹而已！

4 难点突破策略

事实上，从数列求和的角度考查，待证不等式的左边是通项公式为an=12n+1的数列的和，虽然它不是常规的数列，在高中范畴内无法直接求和，但它给了我们启示，右边的12ln（n+1）可看作是某个数列bn的前n项和Sn.

由此可运用化整为零策略，令

Sn=12ln（n+1），

当n≥2时，则

bn=Sn-Sn-1=12lnn+1-12lnn=12lnn+1n=12ln1n+1.

由此只需证明

an=12n+1<12ln1n+1=bn.

即證22n+1<ln1n+1.

即证2n2+1n<ln1n+1.

因而构造函数f（x）=ln（x+1）-2x2+x，x∈（0，1）.

求导或利用第（2）问的结论便可轻松予以证明.

又当n=1时，a1=13<S1=12ln2=b1成立.

故对任意n∈N*，an<bn，便可证得原不等式都成立.

5 命题路径探秘

将函数、导数、数列、不等式结合的综合问题是近年来高考的热门题型.解题者遵循“求和看通项”这种化整为零的思路破解这类试题，而命题者则遵循“从通项生成和”这种逆向思维命制试题，命题过程中充分体现了函数与方程、化归与转化、化整为零的数学思想，本种命题手法在全国高考卷中屡见不鲜.

例2（2017年全国Ⅲ卷理科22）已知函数f（x）=x-1-alnx.

（1）若f（x）≥0，求a的值;

（2）设m为整数，且对于任意正整数n，

（1+12）（1+122）·…·（1+12n）<m，求m的最小值.

评析第（2）问不等式左边的式子是积的结构，与第一步结论：当x∈（1，+∞）时，x-1-lnx>0很难直接建立联系.若我们能够运用化整为零的思想，联想到对数的运算特征：化积为和，就很容易想到不等式两边取对数，即转化成证明不等式：ln（1+12）+ln（1+122）+…+ln（1+12n）<lnm恒成立.

于是令x=1+12n>1，得ln（1+12n）<12n.

进而不等式两边分别构造两个数列，其中右边转化成常规的等比數列求和，问题便水到渠成.

例3（2014年高考全国Ⅱ卷理科17题）已知an满足a1=1，an+1=3an+1.

（1）证明an+12是等比数列，并求an的通项公式;

（2）证明1a1+1a2+…+1an<32.

评析（1）用配凑法，得到an=3n-12;（2）{1an}求和没有办法，故考虑把左边通项1an进行适当放大，转化成有熟悉的等比数列求和问题.所以右边的数可看成某个等比数列的前n项和.根据等比数列求和性质，若一个数列公比q满足q<1，则该数列为无穷递缩等比数列，其前n项和极限为a11-q（取不到等号），由结果想到过程，结合an通项，若存在一个数列bn，满足b1=1，q=13，bn=13n-1，则其前n项和的极限恰好为32，利用化整为零的思想，则问题只需转化成证明1an=23n-1≤13n-1，利用分析法，该不等式对一切自然数n恒成立，从而证明原不等式成立.

6 教学研究感悟

为什么有许多学生解决不了一些并不复杂甚至是简单的数学问题呢？除了极少数学生不知道相应的数学知识外，绝大部分学生不是不会方法，而是由于没有站在思想的高度来思考和引领方法，或者是因为思想不明确而想不起来用什么方法来处理问题.

上述试题的自然解法源于数学思想的指引，善于观察不等式的结构特征，把不等式两边看成两个数列的求和，从而构造两个数列，把研究和的大小转化成判断通项的大小，体现了化整为零、化归与转化、函数与方程思想在数学解题中的重要作用.

解题是命题的基础，命题是解题的超越.作为一线数学老师，不但要研究试题的解题方法、分析试题的产生背景，还要揣摩命题者的思路、懂得试题的命制原理，这样才能促使自己在教学中能更好地引领学生把握试题的本质，从数学思想方法的高度提高解题的能力和素养.

参考文献：

[1] 林新建.我的教学主张——自然数学[M].厦门：厦门大学出版社，2020.

[责任编辑：李璟]