应用控制变量法推导一维弹性碰撞速度公式

摘要：一动一静弹性正碰是一维弹性正碰的特例，且解方程相对容易，根据运动叠加原理，采用控制变量法可快速得到一维弹性正碰的一般解。

关键词：一动一静弹性正碰;运动叠加原理;控制变量法

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2022）07-0111-02

收稿日期：2021-12-05

作者简介：李虎（1985-），男，湖北省房县人，学士，中学一级教师，从事高中物理教学研究.

基金项目：本文是广东省珠海市教育科研“十三五”规划第五批（2020年度）课题《基于科学方法教育的高中物理实验校本课程教材开发与实践研究》（课题编号：2020KTG29）阶段性研究成果之一.[FQ）]

特例一动一静弹性碰撞规律.如图1，碰撞前运动物體m1的速度v1，物体m2静止;碰撞后物体m1和m2的速度分别为v1′和v2′.

根据动量守恒定律和机械能守恒定律，得

m1v1=m1v1′+m2v2′①

12m1v21=12m1v1′2+12m2v2′2 ②

由①式得

m1v1-v1′=m2v2′ ③

由②式得

m1v21=m1v1′2+m2v2′2

m1v21-m1v1′2=m2v2′2

m1v21-v1′2=m2v2′2

m1v1-v1′v1+v1′=m2v2′2④

将③式代入④式

m2v2′v1+v1′=m2v2′2

v1+v1′=v2′⑤

成功将二元二次方程组降阶为二元一次方程组

m1v1=m1v1′+m2v2′v1+v1′=v2′

联立解得v1′=m1-m2m1+m2v1，v2′=2m1m1+m2v1

一般情况碰撞前物体m1和物体m2的速度分别为v1和v2;碰撞后物体m1和m2的速度分别为v1′和v2′.

同理，若v1=0，则

m2v2=m1v1′+m2v2′

12m2v22=12m1v1′2+12m2v2′2

则v2′=m2-m1m2+m1v2，v1′=2m2m2+m1v2

综合以上分析，

①若v2=0，则弹性碰撞后小球1、2的速度分别为

v11′=m1-m2m1+m2v1，v12′=2m1m1+m2v1;

②若v1=0，则弹性碰撞后小球1、2的速度分别为

v21′=2m2m2+m1v2，v22′=m2-m1m2+m1v2

当v1≠0，且v2≠0的一般弹性碰撞，则

m1v1+m2v2=m1v1′+m2v2′

12m1v21+12m2v22=12m1v1′2+12m2v2′2

联立解得

v1′=v11′+v21′=m1-m2m1+m2v1+2m2m2+m1v2

v2′=v12′+v22′=2m1m1+m2v1+m2-m1m2+m1v2

反思一动一静弹性碰撞规律是中学阶段学习的重点，理解了碰撞后的速度公式，遇到类似的问题，便可“套公式求解”，大大简化计算.如果说，一动一静弹性碰撞速度公式的推导，还在大多数高中生的能力范围之内，那么一般情况下弹性碰撞的速度公式的推导，就让相当一部分高中生望尘莫及了.基于“科学方法是知识通向能力的桥梁”，笔者在教学研究中发现，在深入理解一动一静弹性碰撞规律的情况下采用控制变量法和运动叠加，可轻而易举推导出一般弹性碰撞的速度公式.成功的喜悦，溢于言表，分享成功进行了一次科学方法教育的案例.

参考文献：

[1] 单文忠.一动一静弹性碰撞的推论、拓展及应用[J].数理化学习（高中版），2009（18）：33-35.

[责任编辑：李璟]