两道中考题的变式与推广

郑绪妹 肖婧钰 王家正

[摘  要] 2017年和2020年的安徽省中考數学压轴题都是与三角形、矩形有关的几何问题，蕴含着重要的数学思想方法，且这两道题有着内在的联系. 文章通过变式、推广、合并，探讨某些边与角之间的关系，从而揭示试题的本质特征，得到更具深刻性的几何问题，以此培养学生思维的深度和广度，并在帮助学生认清题目本质的同时，培养他们的逻辑思维能力.

[关键词] 变式;推广;试题

原题呈现

原题1 （2020年安徽省中考数学第23题）如图1所示，四边形ABCD是矩形，点E在BA的延长线上，AE=AD，EC与BD交于点G，与AD交于点F，AF=AB.

（1）求证：BD⊥EC;

（2）若AB=1，求AE的长.

解答 （1）因为四边形ABCD是矩形，点E在BA的延长线上，所以∠EAF=∠DAB=90°. 又AE=AD，AF=AB，所以△AEF≌△ADB. 所以∠E=∠ADB. 又∠ADB+∠ABD=90°，所以∠E+∠ABD=90°. 所以∠EGB=90°. 所以BD⊥EC.

（2）因为四边形ABCD是矩形，所以AE∥CD. 所以∠AEF=∠DCF，∠EAF=∠CDF. 所以△AEF∽△DCF. 所以=，即AE·DF=AF·DC. 设AE=AD=a（a>0），则有a（a-1）=1，化简后得a2-a-1=0，解得a=或a=（舍去）. 所以AE的长为.

【此时点F为AD的黄金分割点，因为==.】

原题2 （2017年安徽省中考数学第23题）在正方形ABCD中，M为AB边的中点.

（1）如图2所示，G为线段CM上一点，且∠AGB=90°，延长AG，BG分别与边BC，CD交于点E和点F.

①求证：BE=CF;

②求证：BE2=BC·CE.

（2）如图3所示，在边BC上取一点E，满足BE2=BC·CE，连接AE交CM于点G，连接BG并延长，交CD于点F，求tan∠CBF的值.

解答 （1）①因为四边形ABCD是正方形，所以AB=BC，∠ABC=∠BCF=90°. 所以∠ABG+∠CBF=90°. 因为∠AGB=90°，所以∠ABG+∠BAG=90°. 所以∠BAG=∠CBF. 又AB=BC，∠ABE=∠BCF=90°，所以△ABE≌△BCF. 所以BE=CF.

②因为∠AGB=90°，M为AB边的中点，所以MG=MA=MB. 所以∠GAM=∠AGM. 又因为∠CGE=∠AGM，∠GAM=∠CBG，所以∠CGE=∠CBG. 又∠ECG=∠GCB，所以△CGE∽△CBG. 所以=，即CG2=BC·CE. 由∠CFG=∠GBM=∠BGM=∠CGF，得CF=CG. 又由①知BE=CF，所以BE=CG. 所以BE2=BC·CE.

（2）延长AE交DC的延长线于点N，如图4所示. 因为四边形ABCD是正方形，所以AB∥CD. 所以∠N=∠EAB. 又∠CEN=∠BEA，所以△CEN∽△BEA. 所以=，即BE·CN=AB·CE. 因为AB=BC，BE2=BC·CE，所以CN=BE. 因为AB∥DN，所以==. 因为AM=MB，所以CF=CN=BE. 不妨设正方形ABCD的边长为1，BE=x，由BE 2=BC·CE，可得x2=1·（1-x），解得x=或x=（舍去）. 所以=，即tan∠CBF===.

上述两道题从几何图形的性质和判定入手，均以矩形为背景来研究几何图形的位置关系、数量关系，考查学生数学核心素养中的逻辑推理能力、抽象思维能力等. 为了更深入地研究这两道题，更好地训练学生的思维，培养学生思维的深度和广度，帮助学生进一步认识试题的本质[1]，下面对这两道题进行变式与推广.

变式与推广

将原题1中的已知条件“AF=AB”和结论“BD⊥EC”互换，可以得到下面的变式1.

变式1 如图5所示，四边形ABCD是矩形，点E在BA的延长线上，AE=AD，EC与BD交于点G，与AD交于点F，且BD⊥EC. 求证：AF=AB.

证明 因为四边形ABCD是矩形，所以∠BAD=∠EAF=90°. 因为BD⊥EC，所以∠DGF=90°. 所以∠ADB+∠DFG=90°. 因为∠E+∠AFE=90°，∠DFG=∠AFE，所以∠ADB=∠E. 又因为AD=AE，∠BAD=∠EAF=90°，所以△ABD≌△AFE. 所以AF=AB.

将原题1中的已知条件“AF=AB”删除，将已知条件“四边形ABCD是矩形”换成“四边形ABCD是正方形”，并改变结论，可以得到下面的变式2.

变式2 如图6所示，四边形ABCD是正方形，点E在BA的延长线上，AE=AD，EC与BD交于点G，与AD交于点F，求∠EGB的值.

解答 假设正方形ABCD的边长为a. 容易证得△CDF≌△EAF（AAS），所以DF=AF=AD=. 所以tan∠E===. 所以∠E=arctan. 因为四边形ABCD是正方形，所以∠GBE=. 在△EGB中，∠EGB=π-∠E-∠GBE=π--arctan=-arctan.

将原题1的条件弱化，不限制“AF=AB”，并假设AD的长为1，其他条件不变，探究∠EGB、线段AF与线段AB长度之间的关系，从而将原题1进行推广[2]，得到下面的推广1.

推广1 如图7所示，四边形ABCD是矩形，点E在BA的延长线上，AE=AD，EC与BD交于点G，与AD交于点F. 已知AD=1，假设AB=x，求∠EGB、AF的长与x之间的关系.

解答 容易知道tan∠GBE=，tan∠E=. 在△EGB中，∠EGB=π-∠E-∠GBE，所以tan∠EGB=tan（π-∠E-∠GBE）=-tan（∠E+∠GBE）=

-. 代入化簡后得tan∠EGB=-，所以∠EGB=arctan

-. 由题意可知△EFA∽△ECB，所以=，即=. 所以AF=.

由推广1可得到以下关系：

①∠EGB与x的关系：∠EGB=arctan

-.

②AF与x之间的关系：AF=tan∠E=.

③当∠EGB=90°时，x=，AF=，F是AD的黄金分割点，=.

在原题2中，弱化对∠AGB的限制. 设G是CM上任意一点，假设正方形ABCD的边长为1，探讨∠AGB、FC与边BE之间的关系，从而将原题2进行推广.

推广2 如图8所示，四边形ABCD是边长为1的正方形，M为AB边的中点，G为线段CM上任意一点，延长AG，BG分别与边BC，CD交于点E和点F，探讨∠AGB、FC与BE之间的关系.

解答 如图9所示，假设BE=x，FC=y（0<x<1）. 过点F作AB的垂线交AB于点Q，过点G作AB，BC的垂线，垂足分别为N，P. 因为GP∥MB，所以△CGP∽△CMB. 所以=. 因为M为AB的中点，四边形ABCD为正方形，所以MB=CB. 所以GP=CP①. 因为GP∥FC，所以△BPG∽△BCF. 所以=. 所以GP==y·BP②. 因为GN∥EB，所以△AGN∽△AEB. 所以=. 所以GN==x·AN③. 因为GN=BP，AN+GP=1，又联立②③后可解得GP=. 由②可得BP==. 由①可得CP=2GP=. 由BP+CP=1，得+=1，整理后可得y=-1. 在△AGB中，tan∠GAB==x，tan∠GBA====.

所以tan∠AGB=tan（π-∠GAB-∠GBA）= -tan（∠GAB+∠GBA）=

-. 代入整理后可得tan∠AGB=.

对于原题2（1），因为∠AGB=90°，所以有x2+x-1=0，解得x=或x=（舍去），即E为BC的黄金分割点.

两道原题合并

从两道原题可以看出，2020年题中（图1）的F与2017年题中（图2）的E都是黄金分割点，两题之间有着内在的联系，现在将两题的图合并，探讨其中的内在联系.

推广3 如图10所示，四边形ADIE是边长为1的正方形，四边形ABCD是矩形，M为AE的中点，连接EC交AD于点F，交DM于点H，交BD于点G，连接AH并延长交IC于点N，探究∠BGE、AF、DN、∠AHE与线段AB的长有怎样的关系.

解答 设AB=x，因为AF∥BC，所以△EFA∽△ECB. 所以=. 所以AF=. 由推广2可知DN=-1=x. 在四边形ABDN中，因为AB∥DN，AB=DN，所以四边形ABDN是平行四边形. 所以AN∥BD. 所以∠AHE=∠BGE. 由推广1可知tan∠BGE=-，所以tan∠AHE=tan∠BGE=-. 当AB=时，AF=AB=，即F是AD的黄金分割点，此时∠BGE=90°，∠AHE=90°，DN=AB=. 若∠AHE=∠BGE=90°，当且仅当AB=，即F，N分别为AD，DI的黄金分割点.

结束语

近年来，安徽中考数学试卷最后一题大多以三角形或四边形为背景，考查图形的全等或相似等知识，尤其注重对数学思想方法和核心素养的考查. 很多数学题，尤其是中考题、高考题，凝结了无数出题者的智慧结晶，值得我们深入研究. 如果就题论题，就失去了培养学生思维能力的机会[3]. 通过文章的探讨，笔者得到以下两点启示：

（1）对学生来说，几何图形的学习是一个难点，题目稍加改变就会出现解题困难. 针对这种情况，在平常的教学中，教师要融会贯通，要对题目进行深度挖掘，要把变式思想潜移默化地传授给学生，引导学生积极思考、探索，以此培养学生思维的深度与广度，从而帮助学生进一步认识试题及其解法的本质，达到会做一题，会做一类的效果.

（2）上述对两道中考题的探究、变式与推广的思考，对很多数学问题的研究来说有一定的借鉴意义. 教师在解决某道数学问题时，还需要培养寻找和解决与之相关的其他数学问题的意识和能力，这是提升教师研究能力的有效途径之一.

参考文献：

[1]蔡天平. 利用变式培养数学思维能力[J]. 中学课程辅导（教师通讯），2021（02）：71-72.

[2]宋磊. 倡导通性通法破真题  挖掘题源背景提素养——2020年高考山东卷压轴题的解法探究、变式推广与背景挖掘[J]. 理科考试研究，2020，27（23）：6-9.

[3]陈超，王家正. 一道竞赛题的变式与推广[J]. 中学数学教学，2019（03）：33-35.