基于综合难度模型的中考数学试题背景分析

宋霜霜 陈建强

[摘   要]基于核心素养的新课改在如火如荼地进行中，中考数学试题背景具有多样化的特点，但是这在教学中容易被师生忽视。其实，研究中考数学试题的背景很有价值。文章基于综合难度模型，以2015—2020年大庆市中考数学试题为例，分析中考数学试题背景的变化及其趋势，并根据其变化规律给正在备考的学生提出复习建议。

[关键词]综合难度模型;中考数学试题;背景分析

[中图分类号]    G633.6            [文献标识码]    A          [文章编号]    1674-6058（2022）06-0034-03

一、引言

分析中考数学试题背景有助于培养学生的数学学科核心素养，如数学建模和数学抽象素养。在日常的学习过程中，部分学生认为能做出教师布置的练习就达到学习目的了，导致其在正式考试时遇到较难的题目就感觉无从下手，这是其平时知识掌握不牢固的后果。下面围绕例1进行分析。

[例1]某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产600台机器所需时间与原计划生产450台机器所需时间相同，该工厂原来平均每天生产多少台机器？

从例1涉及的知识内容和运算技巧来看，难度都不大，主要是加上背景之后，需要学生进行数学抽象和建立模型。很多学生的第一感觉是题目字数过多，题干贴近生活，看起来简单，但又无从下手，不知怎样思考和解答。部分学生遇见类似文字多的应用题时会直接放弃。

在学习一元一次方程时，列方程对学生来说难度较大，部分学生不能从题目中找到等量关系，不能将文字语言转成数学符号。例如，一张桌子有一个桌面和四条桌腿，学生能掌握这一生活常识，但是要找到其中的等量关系就比较困难。学生没有发现桌腿的数量是桌面的四倍，则难以列出方程。由此可见，数学题的背景因素实际考查的是学生将自然语言转化成数学符号的能力和数学建模的能力，这在以后的素质教育中是重中之重。

通过对例1的分析，我们知道数学试题背景对试题难度有较大的影响，因此对中考数学试题背景因素的变化趋势进行分析很有必要。义务教育阶段的教学是为高中做准备的，所以中考也会有相应的改变，教师应及时分析中考数学试卷中试题背景因素的变化。

本文主要借用综合难度模型对中考数学试题背景进行分析。综合难度模型是由华东师范大学数学系教授鲍建生根据实际情况总结得出的试题难度量化模型。該模型客观并且可量化，已经经过信度和效度的检验，被广泛应用于试题难度量化中。笔者在实践中发现，对该模型中单个因素的利用较少，所以本文不对试卷整体进行难度量化，只借助这个模型对试卷中试题的背景因素进行难度研究。笔者借助该模型，对2015—2020年大庆市中考数学试题进行背景分析，，研究大庆中考数学试题的背景变化趋势，并为学生提出有效的复习建议。

二、综合难度模型的应用

（一）综合难度模型概述

笔者利用综合难度模型对2015—2020年大庆市中考数学试题背景进行分析后，得出以下分析结果（如表1所示）。

（二）综合难度模型的应用

大庆市每年的中考数学试题量为28道，笔者利用综合难度模型中的背景分类对2015—2020年大庆市中考数学试题背景进行分析得到表2的数据。

为了更直观地看出数据的变化，下面以图1来呈现数据。

（三）数据分析与相应建议

1.背景因素占比变化及分析

我们通过表2可以发现，大庆市中考数学以无实际背景类试题为主，2015—2020年占比均较大，但是从图1可以看出，这类试题的占比又曾有所下降。2019年，无实际背景类的试题占比降到了60.71%。有背景因素的试题占比逐步增大，这和教育改革方向相一致。实施素质教育要全面贯彻党的教育方针，以提升国民素质为根本宗旨。教育的目的不是为了让学生死记硬背知识，而是为了促进学生的全面发展，这就会对学生的要求有提高。因此，学生不仅要注重对知识的掌握，而且要提升人文素养，在生活情境中发现问题、提出问题、解决问题。这对部分学生来说是一个挑战，因为他们习惯死记硬背和采用题海战术，遇到新的问题就会感到难以解答。

东北师范大学的史宁中教授提出，高中数学教学中培养学生的目标可以描述为：会用数学的眼光观察现实世界;会用数学的思维思考现实世界;会用数学的语言表达现实世界。这不仅仅适用于高中，在初中也是适用的。教师应引导学生多了解时事热点，当学生面对同类背景的试题时就可以减少陌生感，降低解题难度。教师还要指导学生在处理事情时从数学的角度去看待和思考问题，当类似问题出现的时候，就可以更快地建立起相应的综合难度模型。

2.中考数学试题背景考查的重点内容及分析

除了发现无实际背景类的试题占比曾下降，我们还发现在有背景内容的试题中，占比最大的为公共常识类试题，其次是个人生活类试题，科学情境类试题基本没有，只在2019年占了3.57%。个人生活类试题和公共常识类试题，这两类试题的背景因素也是背景类试题的主体。

个人生活类试题是最贴近学生生活的，这类题型通过背景因素既可以考查学生数学建模的能力、数据提取的能力，又可以考查学生发现问题、提出问题的能力，让学生发现数学来自生活并且服务于生活，能够解决日常生活中的问题，从而无形中激发学生的数学学习兴趣。

公共常识类试题的背景主要是学生感觉熟悉又不太熟悉的内容，解答这类试题对学生来说比个人生活类试题难，但对学生素养的提升更有帮助。公共常识类试题的背景来自学生生活中的话题，但是其中的许多细节学生并不了解。例如，学生都知道故宫，但是对故宫的面积可能没有清晰的认知，如果以故宫的面积为试题背景，考查科学记数法等知识点，可以加大试题的难度，也可以使试题更有趣味性，从而激发学生的好奇心。学生在解决公共常识类试题的过程中，提升了人文素养，丰富了生活阅历。

我们经过统计发现，统计与概率类的试题都有背景支撑，这是命题规律。统计与概率类的试题主要是让学生参与到生活中，运用数学知识解决生活问题，提升计算能力和统筹能力。这对学生人文素养的提升作用很大。

在背景因素里，我们可以看到科学情境类试题是赋值最高的，因此这类试题是所有背景类试题中最难的。对这一类问题的考查在将来的中考中可能会增多，因此学生在学习过程中可以加强对这类背景因素试题的训练，为中考做充分的准备。例2是2019年大庆市中考数学试卷第16题，既考查了相应的知识点，又提升了学生的相关素养，这类问题有较大的研究价值。

[例2]我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图2所示），如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边长分别为a、b，那么[（a-b）2]的值是                       。

这种科学情境类试题在中考试卷中出现得比较少，主要是由于中考的性质，难题偏题不适用。因此，学生对这类题目不用进行太多练习，只要能掌握就好。

3.有背景的试题在中考试卷中的位置分析

有背景的试题在2015年中考数学试卷中主要以选择题的形式呈现，在填空题中没有出现，2016年后填空题中也有所涉猎，所以有背景的试题不仅仅局限于某一种题型。从中学生应该了解到，复习的时候不能只练习某种题型，要做全面准备，以防考试时乱了手脚。学生不能认为有背景的试题只会出现在某种题型中，复习时忽略了其他题型的练习，这样复习会存在缺漏，不利于考试成绩的提高。

三、總结

背景对于试题难度具有一定的影响，但是影响试题难度的因素是多方面的，因此试题的难易最终需要综合来看。公共常识类试题要求学生在复习的时候不能带有机械性，要进行有意义的复习。这样学生遇到陌生的题时不会慌张，能运用已经学过的知识以不变应万变，能从所给背景中找到数学的量与等式关系。

随着新课程改革的深入，背景类试题增多是趋势，在这种情况下，教师应引导学生重视，以免中考时措手不及。

[   参   考   文   献   ]

[1]  荣彬.新课标下数学中考命题趋势与解题关系的研 究[D].成都：四川师范大学，2014.

[2]  巩天赐.2010-2019年上海中考数学发展趋势研究   [D].上海：上海师范大学，2020.

[3]  蓝舒婷.基于核心素养的福建省中考数学试题研究[D].厦门：集美大学，2020.

（责任编辑   李琪琦）