基于广义相对论的轨道摄动下星间激光相位比对

梁健，贾前，刘磊,*，唐硕

1. 西北工业大学 航天学院，西安 710072

2. 陕西省空天飞行器设计重点实验室, 西安 710072

1 引言

地球重力场测量计划对星间激光测距提出了纳米量级的精度要求，如美国NASA提出的GRACE Follow-on计划，欧洲ESA提出的NGGM计划以及E. MOTION计划[1-7]。空间引力波探测计划提出了皮米量级的星间激光测距精度要求，如NASA和ESA共同提出的LISA计划以及中国的太极计划和天琴计划[7-13]。同时，高精度的星间激光测距有利于提高卫星自主导航和自主定轨精度[14-18]。星间激光高精度相位比对是实现星间纳米到皮米量级测距的基础，在考虑轨道摄动的情况下，需要基于广义相对论建立更加精确的星间激光相位比对模型[19-20]。

为实现高精度星间测距，一方面可以利用时间比对，另一方面可以利用相位比对。在进行相对论效应校正后，文献[21]可实现北斗导航卫星Ka波段厘米量级星间双向测距精度。目前利用激光同步技术可以实现飞秒量级，对应测距精度在亚微米量级[22]。利用时间比对进行星间测距时，即使补偿所有系统误差和路径误差，仍然不能满足纳米到皮米量级的空间科学任务需求。

为实现更高精度的星间测距，重力场计划以及引力波探测计划都选择了利用激光相位比对实现星间激光测距。文献[19]针对GRACE Follow-on计划，利用程函方程建立星间激光相位比对模型，依据该计划中的卫星运行轨道高度，对轨道运动影响量级进行了估计，但是未考虑轨道摄动的影响。文献[20]针对天琴计划建立星间激光相位比对模型，并根据天琴运行轨道对轨道摄动影响量级进行了估计，但是未考虑轨道摄动引起的轨道变化的影响以及不同轨道时摄动影响的变化趋势。本文针对地球主引力场范围内的卫星，研究了轨道摄动对高精度星间激光相位比对的影响，仿真分析得到了轨道高度以及星间距离变化的影响趋势。

2 星间激光相位比对建模

2.1 时空参考坐标系

选择GCRS(地心非旋转坐标系)描述地球卫星运动，广义相对论下GCRS中的度规张量为[23]：

(1)

式中：c为光速；w为引力势；γαβ=diag[-1 1 1 1]。

对于广义相对论下四维空间任意两点之间的距离ds有：

ds2=(cdτ)2=gmndxmdxn

(2)

(3)

式中：t为坐标时。上式为基于广义相对论的GCRS坐标系下原时与坐标时之间的转换方程。

2.2 星间单向激光相位比对建模

星间激光相位比对如图 1所示。

图1 星间激光相位比对示意Fig.1 Schematic diagram of laser phase comparison between satellites

卫星A与卫星B各自搭载一台超稳激光器，当进行星间激光测距时，卫星A向卫星B发射激光，卫星B将接收到的激光信号与卫星B超稳激光器产生的激光信号进行干涉。卫星A在τA1时刻发射的激光频率和相位分别为fA(τA1)和φA(τA1)，卫星B在τB2时刻收到的激光相位为φAB(τB2)。此时，可以得到φAB(τB2)=φA(τA1)[24]。

卫星B接收到的激光信号与卫星B超稳激光器产生的激光信号在τB2时刻的相位差为[20]：

(4)

式中：fB(τB2)为τB2时刻卫星B超稳激光器产生的激光信号频率。

求解dτA1/dτB2即可得到干涉信号之间的相位差。dτA1/dτB2可改写为：

(5)

式中：τA为卫星A的原时；τB为卫星B的原时；t1为对应τA1的坐标时；t2为对应τA2的坐标时。

(6)

式中：wB2和vB2分别为τB2时刻卫星B的引力势和速度；wA1和vA1分别为τA1时刻卫星A的引力势和速度。

对于t1,t2有：

t1=t2-c-1RAB

(7)

式中：RAB为激光从卫星A发射到卫星B接收的距离。

式(5)中的dt1/dt2可由式(7)求解得到：

(8)

将式(5)、式(6)和式(8)代入式(4)，并忽略c-2以上的项可以得到：

dφAB(τB2)=2π[fB(τB2)-fA(τA1)]dτB2-

(9)

式(9)为星间单向激光相位比对模型，第2项以及第3项中的Shapiro效应均为广义相对论效应引起的误差。

2.3 星间双向激光相位比对建模

相比于星间单向激光相位比对，在星间双向激光相位比对中，卫星B将接收到的激光信号利用锁相器进行锁相，将锁相后的激光信号重新发射回卫星A，与卫星A超稳激光器产生的激光信号进行干涉。τA3时刻卫星A接收到的激光相位为φA(τA3)。

卫星B锁相器对接收到的激光信号进行锁相时，满足如下关系[20]：

(10)

式中：fBL(τB2)为τB2时刻锁相器产生的频率偏移。

由式(10)可以得到卫星A接收到的激光信号与卫星A超稳激光器产生的激光信号在τA3时刻相位差为：

(11)

dτA1/dτA3可改写为：

(12)

式中：t3对应τA3的坐标时。

(13)

式中：wA3和vA3分别为τA3时刻卫星A的引力势和速度；wA1和vA1分别为τA1时刻卫星A的引力势和速度。

对于t1,t3有：

t1=t3-c-1[RAB+RBA]

(14)

式中：RBA为激光从卫星B锁相后发射到卫星A接收的距离。

式(12)中的dt1/dt3可由式(14)求解得到:

(15)

将式(12)、式(13)和式(15)代入式(11)，并忽略c-2以上的项可以得到：

(16)

式(16)为星间双向激光相位比对模型。

相位比对误差dφ和距离测量误差ΔL之间的关系可以表示为：

(17)

式中：λ为激光波长。

3 星间距离变化率

本章将对2.2节星间单向激光相位比对模型和2.3节星间双向激光相位比对模型中激光比对距离变化率dRAB/cdt2、dRAB/cdt3以及dRBA/cdt3进行求解。

在单向激光相位比对模型中，激光比对距离RAB对卫星B接收时间t2求导，将RAB以接收时间t2表示。考虑Sagnac效应以及Shapiro效应时，激光比对距离可以表示为：

(18)

式中：DAB=rEB2-rEA2；DAB=‖DAB‖；rEB2为t2时刻卫星B在GCRS中的位置矢量；rEA2为t2时刻卫星A在GCRS中的位置矢量；vEA2为t2时刻卫星A在GCRS中的速度矢量；vEA2=‖vEA2‖；aEA2为t2时刻卫星A在GCRS中的加速度矢量；Dsha为广义相对论中Shapiro效应引起的距离误差。

对式(18)求导可得：

(19)

式中：nAB=DAB/DAB；vAB=vEB2-vEA2。

Shapiro效应是激光受地球引力场的影响产生的距离误差，可以表示为：

(20)

式中：G为万有引力系数；mE为地球质量；rEA2=‖rEA2‖；rEB2=‖rEB2‖。

对式(20)求导可得：

(21)

将式(21)代入式(19)得到距离变化率dRAB/cdt：

(22)

式(22)中前三项为相对运动引起的几何距离变化率，最后一项为广义相对论中Shapiro效应引起的距离变化率。

同理可得距离变化率dRBA/cdt为：

(23)

式中：DBA=rEA3-rEB3；nBA=DBA/DBA；DBA=‖DBA‖；rEB3为t3时刻卫星B在GCRS中的位置矢量；rEB3=‖rEB3‖；rEA3为t3时刻卫星A在GCRS中的位置矢量；rEA3=‖rEA3‖；vBA=vEA3-vEB3；vEB3为t3时刻卫星B在GCRS中的速度矢量；vEB3=‖vEB3‖；vEA3为t3时刻卫星A在GCRS中的速度矢量；vEA3=‖vEA3‖；aEB3为t3时刻卫星B在GCRS中的加速度矢量。

dRAB/cdt3可由式(22)和式(23)联合求解得到:

(24)

将式(22)代入式(9)可以得到卫星单向激光相位比对模型的完整表达，将式(23)和式(24)代入式(16) 可以得到卫星双向激光相位比对模型的完整表达。

4 仿真分析

本章对相位比对模型中影响相位比对精度的因素进行仿真分析。对轨道高度为10 000 km、20 000 km以及36 000 km星间距分别为300 km、3 000 km以及30 000 km的地球轨道卫星进行仿真分析，并在4.3节对仿真结果进行讨论。

4.1 单向激光相位比对仿真分析

摄动轨道下，卫星轨道方程为：

本文主要研究轨道摄动引起的星间激光相位比对中的广义相对论效应误差，式(9)中广义相对论效应误差为第2项以及第3项中的Shapiro效应，定义式(9)中的广义相对论效应误差影响因素为：

σrel=σ1+σ2+σ3

σ1中引力势考虑地球高阶非球形摄动中的J2项可满足纳米到皮米量级星间测距精度要求。

算例：卫星轨道高度为10 000 km，星间距为3 000 km，仿真参数如表 1所示。

表1 仿真参数

表中：r0=16 371 km，v0=4.930 km/s。卫星B与卫星A轨道高度相同，与卫星A之间的距离为3 000 km，可以得到两卫星与地心之间的夹角为θ=0.183 430 rad。卫星B的初始位置为[r0cosθ-r0sinθ0]T，初始速度为[v0sinθv0cosθ0]T。仿真时间105s，仿真步长10 ms，仿真结果如图2所示。

图2 单向激光相位比对中影响因素曲线Fig.2 Influence factors curves of one-way laser phase comparison

对其他算例分别进行仿真分析，仿真结果如表2所示。

表2 仿真结果汇总1

表中数值为105s仿真时间内σ1、σ2、σ3以及σrel绝对值的极大值。

4.2 双向激光相位比对仿真分析

双向激光相位比对中轨道方程和单向激光相位比对相同，同理定义式(16)中的广义相对论效应误差影响因素为：

σ3=β1+β2

σrel=σ1+σ2+σ3

算例：卫星轨道高度为10 000 km，星间距为3 000 km，仿真时间105s，仿真步长10 ms，仿真结果如图 3所示。

对其他算例分别进行仿真分析，仿真结果如表 3所示。

表3 仿真结果汇总2

表中数值为105s仿真时间内σ1、σ2、σ3以及σrel绝对值的极大值。

4.3 结果讨论

从表 2和表 3看出，双向激光相位比对中σ1和σ2远远小于单向激光相位比对，σ3为单向激光相位比对的2倍。

从表 2看出，对于卫星单向激光相位比对，σ1和σ2随轨道高度增高而增大；σ3和σrel随轨道高度增高而减小。σ3和σrel随星间距离增加而增大。当θ≤π/2时，σ1和σ2随星间距离增加而增大；当θ>π/2时，σ1和σ2随星间距离增加而减小。

轨道高度为10 000 km时，卫星B初始加速度幅值随夹角θ变化曲线如图4所示。算例3中θ=2.315 303 rad，由图4可知卫星B与卫星A之间的初始加速度幅值差小于算例2。因此，算例3中的σ1和σ2分别小于算例2中的σ1和σ2。

图4 卫星初始加速度幅值随夹角θ变化曲线Fig.4 Initial satellite acceleration amplitude graph versus angle θ

从表3看出，对于卫星双向激光相位比对，σ1、σ2、σ3和σrel随轨道高度增高而减小，随星间距离增加而增大。

根据式(17)，由表 2计算得出，对于卫星单向激光相位比对，σ1引起的最大测距误差为算例9的184.38 nm，σ2引起的最大测距误差为算例9的161.4 nm，σ3引起的最大测距误差为算例3的3.03 μm，广义相对论效应σrel引起的最大测距误差为算例3的3.096 μm。

由表2计算得出，对于卫星单向激光相位比对，σ1引起的最小测距误差为算例1的69.42 pm，σ2引起的最小测距误差为算例1的71.31 pm，σ3引起的最小测距误差为算例7的45.36 pm，广义相对论效应σrel引起的最小测距误差为算例7的288.9 pm。

由表3计算得出，对于卫星双向激光相位比对，σ1引起的最大测距误差为算例3的238.56 pm，σ2引起的最大测距误差为算例3的238.56 pm，σ3引起的最大测距误差为算例3的12.114 μm，广义相对论效应σrel项引起的最大测距误差为算例3的12.114 μm。

由表 3计算得出，对于卫星双向激光相位比对，σ1引起的最小测距误差为算例7的3.286 2 fm，σ2引起的最小测距误差为算例7的3.579 6 fm，σ3引起的最小测距误差为算例7的181.38 pm，广义相对论效应σrel引起的最小测距误差为算例7的181.38 pm。

相比于星间单向激光相位比对，星间双向激光相位比对减小了除Shpairo效应外的广义相对论效应测距误差(对应σ1和σ2)。但是Shapiro效应误差项 (σ3)放大了两倍。当星间距较小时(对应本文星间距3 000 km)，基于双向激光相位比对的星间皮米量级测距，可以忽略除Shpairo效应外的广义相对论效应测距误差。经过对仿真结果计算发现，较低轨道时(轨道高度为10 000 km和20 000 km) 单向激光相位比对中轨道摄动引起的广义相对论效应测距误差小于双向激光相位比对；较高轨道时(轨道高度为36 000 km) 单向激光相位比对中轨道摄动引起的广义相对论效应测距误差大于双向激光相位比对。

5 结论

本文针对星间高精度测距的需求，开展地球主引力场卫星间的相位比对研究。分别建立单向和双向星间激光相位比对模型，并进行仿真分析。不同轨道高度卫星仿真结果表明，轨道摄动引起的广义相对论效应测距误差最小为百皮米量级，最大达到微米量级。利用相位比对进行纳米到皮米量级高精度测距时，必须考虑轨道摄动引起的广义相对论效应测距误差。星间距相同时，轨道高度越高，轨道摄动引起的广义相对论效应测距误差越小；轨道高度相同时，星间距越大，轨道摄动引起的广义相对论效应测距误差越大。本文工作为空间星间高精度星间测距提供理论支持，对于导航卫星，纳米到皮米量级的星间测距精度将大幅提高自主导航精度。