预调制多陪集采样系统*

黄 振，柏正尧

(云南大学 信息学院，云南 昆明 650500)

0 引言

随着信息技术的不断飞速发展，学者在研究信号处理的前沿领域取得了卓越成就，随着对前沿信息技术探知的增加，虽然科技人员已研制出高性能的ADC，但现有最高采样速率的ADC 仍无法满足学者们对更高频率的信号频谱及信号特征的研究，且采样速率超过1 GHz的商用ADC 价格非常昂贵[1]。针对具有稀疏特性的信号，提出的压缩感知(Compressed Sensing，CS)理论[2-4]缓解了ADC 采样速率的压力，实现对信号的采样和压缩同步进行，并删除了冗余信息，降低了数据运算量，缓解了硬件压力，然后再由重构算法实现从低维的压缩数据中重构出输入信号。

目前，信号处理中的压缩采样系统[5-6]主要有随机解调器(Random Demodulator，RD)[7]、多陪集采样(Multi-Coset Sampling，MCS)[1，6-8]和调制宽带转换器(Modulated Wideband Converter，MWC)[1，6-7，9]3 种采样系统。RD 是单通道多音频模型的欠采样，对输入信号模型比较敏感，当信号是非线谱信号时，重构误差和重构计算量均较大，因此无法普遍适用于所有的宽带信号[1]。MWC 采样系统是多通道均匀亚奈奎斯特采样，随着采样系统通道数的增加，使得产生各通道上非相关伪随机序列的难度成几何倍数地增加，同时伪随机序列的跳变速率不小于奈奎斯特采样速率。MCS 是多通道周期非均匀亚奈奎斯特采样，通过调整各通道上的时延实现频域内不同权值的频谱裁剪，在硬件实现时各通道上的时延器很难产生理论中的理想时延，同时MCS 在接收信号前未先进行低通滤波，导致ADC 的接收输入模拟带宽必须不小于输入信号的模拟带宽。

本文借鉴MWC 在对输入信号采样前先进行频谱调制来降低待采样信号模拟带宽的思想，结合MCS 通过控制各通道上的时延来实现频谱裁剪的思想，提出了预调制多陪集采样系统。通过仿真实验，该系统有效克服了MCS 中低速ADC 最大接收输入模拟带宽问题和难以产生精准时延问题，同时克服了MWC 随着通道数的增加而带来的各通道上产生非相关伪随机序列的难度。

1 多通道采样系统

1.1 MCS

MCS 是一个多通道周期非均匀采样系统，每个通道上由时延器和低速ADC 组成，其采样框架如图1 所示。

图1 多陪集采样框架

MCS 通过调整时延ΔCi控制各通道上低速ADC 采样起始时刻，实现时间交替采样；并通过控制通道数q和低速ADC 采样周期对输入信号进行多通道并行交替压缩采样，频域内实现对信号x(t)的频谱进行裁剪，然后采用MUSIC 算法[10-11]对输入信号进行重构。

MCS 在低速ADC 采样前没有对信号进行滤波过程，因ADC 的输入模拟带宽要不小于输入信号最高频率的两倍，导致MCS 不能处理高频、特高频信号；同时，硬件实现时因电子器件非理论中的完美器件，导致难以按理论中的要求产生各通道上的精准时延。

1.2 MWC

MWC 是一个多通道周期均匀采样系统，各通道上由伪随机序列发生器、乘法器、低通滤波器和低速ADC组成。其中，伪随机序列的一个周期内有M 个±1 的矩形脉冲信号，实现对输入信号进行离散化和频谱调制。在MWC 各通道上的低通滤波器的作用是对调制后的信号进行滤波，同时低速滤波器带有积分器[9，12]的作用，实现对M 个离散化样本点进行积分。然后，由低速ADC 采样后输出压缩信号，再采用以正交匹配追踪(Orthogonal Match Pursuit，OMP)[13-14]为代表的贪婪算法重构出输入信号。

MWC 各通道上通过采用周期伪随机序列对输入信号进行调制，并在各通道上实现不同权值的频谱混叠，为了能从压缩数据中重构出输入信号，需要各通道上的伪随机序列之间具有非相关性，这就导致随着通道数的增加，生成各通道上的非相关伪随机序列难度成倍增加。

2 预调制多陪集采样系统

2.1 基本思路

MSC 在硬件实现时因低速ADC 的电子元器件存在最大输入模拟带宽问题，导致被采样的输入信号带宽要小于其模拟带宽，但实际输入信号带宽均大于ADC 的最大输入模拟带宽。针对该问题，本文借鉴MWC 在采样前先进行频谱调制来降低采样前信号带宽的思想，提出预调制多陪集采样系统。该系统在MCS 系统框架的各通道上添加混频器和低通滤波器，在频域对输入信号进行频谱调制后，由低通滤波器滤除多余频谱信息，从而使待采样信号带宽小于低速ADC 最大输入模拟带宽。

MCS 的本质是从奈奎斯特采样序列中选择出一些周期性的特定采样点[1，5]，通过控制各通道上的不同时延和低速ADC 采样周期来实现频域内对输入信号的频谱进行裁剪，从而实现每个通道上低速率采样。而MWC通过各通道上伪随机序列之间的非相关性，实现各通道上在频域内的频谱混叠权值不同，并将信号恢复问题转化为多测量向量(Multiple Measurement Vector，MMV)[15]求解问题。在本文提出的预调制多陪集采样系统中的混频信号不同于MWC 的伪随机序列，而是幅值为1、周期是奈奎斯特采样周期整数倍的单脉冲序列的调制信号，其作用是在各通道上周期性的对输入信号的特定位置点进行离散化，与MCS 采样本质相同。同时，混频信号在混频时对输入信号进行了频谱调制，然后由ADC 进行低速采样输出压缩数据，且各通道上的随机序列和低速ADC 共用同一控制时钟，实现对输入信号进行同步压缩采样。

2.2 系统框架及分析

预调制多陪集采样系统是多通道周期采样系统，每个通道均由混频器、低通滤波器和低速ADC 组成，如图2所示。

图2 预调制多陪集采样系统

假设输入信号x(t)为稀疏多频带信号，且为频域内带限信号，奈奎斯特采样频率为W，输入信号带宽为W/2；x(t)由N 个子频带组成，且带宽B 均远小于输入信号带宽；TNYQ为奈奎斯特采样周期(TNYQ=1/W)，pi为第i 通道上随机序列的起始时刻，则周期单脉冲序列信号pi(t)在t=(kL+pi)TNYQ时刻对输入信号进行离散化，且1＜＜i＜＜q，k=0，1，2，…，LTNYQ为随机序列发生 器和低速ADC 的周期，q 为通道数。

输入信号经过周期单脉冲序列信号离散化后为x(kL/W+pi/W)，因低通滤波器在时域内具有积分器的作用，因此低通滤波器在时域的作用是把x(t)在t=(kL+pi)TNYQ的幅值累加至(k+1)LTNYQ时刻，且低速ADC 采样时刻为(k+1)LTNYQ。则第i 通道上的输出信号的表达式为：

计算yi(k)的离散时间傅里叶变换(DTFT)，将ω 范围设定为[-πW/L，πW/L)，并令Q=，可得：

其中，i=1，…，q。对于预调制多陪集采样系统，式(2)可用向量矩阵表达式简写为：

其中，Z 为q×1 向量，S 为L×1 向量，Φ 为q×L 矩阵，它们的元素分别为：

其中，i=1，…，q；l=1，…，L；ml=-Q+l。

3 仿真实验分析

在仿真实验中，稀疏多频带信号参数为：子频带数N 为4，带宽B 均为15 Hz，中心载频为-350 Hz、-100 Hz、100 Hz 和350 Hz，总占频带宽为1 000 Hz(即奈奎斯特采样频率fNYQ)；输入信号的信噪比为45 dB，时域观测长度为10 s，子频带时延分别为2 s、4 s、6 s 和8 s。预调制多陪集采样系统的参数设置为：通道数q=15(q≥2N)，L=100(即随机序列和ADC 采样的周期为100TNYQ）；各通道上的随机序列的起始时刻为随机产生(小于L)，为奈奎斯特周期采样的整数倍，且互不相同，如图3(b)所示。

图3(a)是输入稀疏多频带信号的时域波形图，图3(c)～图3(e)分别是第1、2、15 通道上输入信号与随机序列经混频器后输出的时域波形图，对应的随机序列时延为奈奎斯特采样周期的92、41、3 倍。随机序列的周期远大于奈奎斯特采样周期，在各通道上经混频器对输入信号进行频谱调制后，经由低通滤波器滤波和低速ADC 亚奈奎斯特采样后输出压缩采样数据，该过程与MCS 本质相同，之后采用MUSIC 算法从压缩采样数据中重构出输入信号。

图3 混频信号

图4(a)是采用MUSIC 算法计算出压缩矩阵的特征谱，图4(b)是MUSIC 算法识别出来的有用信息(含有频谱)的频谱切片。图5(a)～图5(c)分别为无噪的输入信号、有噪的输入信号和重构出的信号，图5(d)～图5(f)分别为对应的时域信号波形图。

图4 MUSIC 算法识别出的频谱片段

图5 重构信号与输入信号的对比

预调制多陪集采样系统的核心是在各通道上通过随机序列发生器产生不同起始时刻的周期单脉冲调制信号，以实现频域内的频谱调制和时域内亚奈奎斯特采样，因此在仿真实验中各通道上随机序列的起始时刻为随机产生，分别为奈奎斯特采样周期的92、41、75、42、56、72、60、63、58、73、30、48、76、69、3 倍。因各通道上随机序列的时延不同，使得各通道上的压缩采样数据对应的频谱混叠权值不同，实现该采样系统对输入信号的频谱裁剪，经MUSIC 算法对压缩感知矩阵进行计算，识别出频域内含有频谱的频谱片段，从而实现信号的重构，在仿真实验中信号重构的均方误差在10-5量级。同时，该采样系统有15 个通道，各通道上的L 均为100，因此，各通道上的采样速率为W/L=10 Hz，采样系统总采样速率为qW/L=150 Hz，采样速率是奈奎斯特采样速率的0.15 倍。

4 结论

本文通过对MWC 和MCS 采样系统进行了分析，提出了预调制多陪集采样系统，通过仿真实验，验证了该采样系统的可行性，在实现低速率采样和完美重构出输入信号的同时，有效克服了MCS 各通道上低速ADC 最大输入模拟带宽上限问题和难以产生精准时延问题，同时克服了MWC 非相关伪随机序列发生器的困难。在实际工程应用中，针对稀疏多频带信号的频带带宽、频谱波形、奈奎斯特带宽等特征，需进一步设计预调制多陪集采样系统的通道数、随机系列周期以及ADC 采样周期等重要参数。下一步工作将针对实际应用中的稀疏多频带信号，设计预调制多陪集采样系统，硬件实现该采样系统并进行实测，力争推进本文研究成果的实际应用。