航空发动机燃油计量装置稳定性分析

陈昭旸，肖玲斐，叶志锋，胡文佳，吴忠敏

(1. 南京航空航天大学，江苏 南京 210016；2. 中国航发贵州红林航空动力控制科技有限公司，贵州 贵阳 550025)

0 引言

尽管航空发动机控制系统逐渐由液压机械式控制发展为全权限数字电子控制，但是燃油计量装置仍然是控制系统中不可或缺的重要组成部分。燃油计量装置本身可以视为一个小闭环系统，其内部零部件较多，结构参数设计过程复杂[1-2]。事实上，我国长期以来对发动机燃油计量装置的研发以仿制为主，缺少理论分析，在新型航空发动机控制系统的研发过程中出现了因燃油计量装置输出流量不稳定而引起的发动机转速波动，影响了发动机的控制性能。

国内的研究人员一般通过在AMESim中建立仿真模型来对燃油计量装置进行研究。余玲等对燃油计量装置进行AMESim建模，通过仿真得到了燃油计量装置的稳态及动态特性，并研究了燃油计量装置的主要结构参数对其稳态及动态特性的影响[3]；周立峰基于AMESim建立了燃油计量装置的模型，分析了燃油计量装置所面临的三种典型工况，通过仿真得到这三种工况下燃油计量装置的稳态及动态特性，并构建了燃油计量装置试验系统，通过试验验证了模型的准确性和仿真结果的可信度[4]；李洪胜等研究了某型发动机燃油计量装置压差控制器的性能，分析并推导出其影响控制压差能力的主要因素，通过AMESim仿真验证了所得结论的正确性。在此基础上对其进行合理的改型，为保证改型不影响系统的性能，用小偏差原理对改型前后的压差控制器辨识，得到传递函数，确保改型并未损失其动态性能，最终得到改进压差控制器压差能力的理论依据[5]。

目前尚没有看到关于燃油计量装置稳定性的研究，当相关参数不合理的时候，就可能导致燃油控制精度低、输出不稳定等问题。由于在AMESim中建立的仿真模型只能用于分析燃油计量装置的稳态及动态性能，不易进行关于稳定性的研究。因此，本文通过建立燃油计量装置的力平衡方程、流量连续性方程，并在MATLAB中建立其仿真模型。为了分析燃油计量装置的稳定性，对所列方程进行线性化处理，之后分别应用特征方程根轨迹以及基于李雅普诺夫函数和遗传算法的多参数稳定性设计方法，分析了主要物理参数对燃油计量装置稳定性的影响。

1 燃油计量装置工作原理

某型发动机研制的燃油计量装置主要由电液伺服阀、带位移传感器的计量活门、等压差活门、执行活门以及一系列节流孔、弹簧构成，工作原理如图1所示(未绘出伺服阀及传感器)。

图1 燃油计量装置原理图

计量活门的主要作用是通过调节计量活门窗口的开度来控制发动机燃油量，计量活门出口的流量可用如下公式计算：

(1)

式中：Cd为流量系数；A为计量活门开口面积(由计量活门位移xj决定)；Δp1为计量前后的压差；ρ为燃油密度。根据公式，若保持Δp1为常数，则流量仅与阀芯位移xj有关。

等压差活门的两端分别与计量活门前后的油压相通，它的作用是感受压差变化，根据两端的压差，等压差活门阀芯产生相应的位移，从而改变等压差活门节流口的面积，控制执行活门下腔的压力，使得执行活门的阀芯产生相应的位移，从而改变执行活门节流口的开口面积，进而控制中腔也就是计量后的压力，最终保持计量活门前后的压差不变。所以燃油计量装置本质上是压差闭环控制，其稳态、动态特性及输出稳定性主要取决于弹簧、节流孔等参数。

2 建模与仿真

由于伺服阀位置环的动态响应非常快，故忽略其动态特性。根据燃油计量装置的工作原理，建立等压差活门、执行活门的力平衡方程及各节流口流量连续性方程[6-7]：

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

式中：x、p、q分别为位移、压力和节流口(孔)i的流量；k、fy、a(A)、m、b、c、v、βe分别为弹簧刚度、预压缩弹簧力、面积、质量、阻尼、泄漏系数、容积、有效体积弹性模量，下标d、z分别表示等压差活门和执行活门。

考虑最不稳定高压大流量的工况，在额定稳态工作点，用泰勒级数展开的方法，对各个节流口的流量表达式进行小偏差线性化处理，然后代入力平衡方程与流量连续性方程中，为了简单起见，仍用变量本身表示它们在某一稳态点的增量：

(8)

(9)

Kz4xz+(Kp1+Kp2)p1-(Kp1+Kp2+Kp3+Kp4+cz)p2+

(10)

(11)

(12)

式中：Kz4、Kd8分别为可变节流口4、8的流量增益，由于其他节流装置均为固定节流孔，所以其流量增益近似为常数；Kpi为节流口i的流量-压力系数(i=1～8)，具体的数值由式(2)-式(7)中的相关系数计算得出。

为了验证方程线性化的动态精度，在计量活门位移xj为9mm、进口压力为9MPa、出口压力为7MPa的稳态工作点，给计量活门位移加一个Δxj=0.1mm的阶跃信号，用MATLAB进行仿真，比较方程线性化前后计量装置输出流量q4、等压差活门位移xd的参数阶跃响应，结果如图2所示。

图2 燃油计量装置对计量活门位移的阶跃响应

由于燃油计量装置的强非线性，通过线性化之后的方程与原始方程的动态响应存在一定误差，但两者总体上相符。

3 根轨迹稳定性分析

求解线性化后的式(8)-式(12)，将压力p2、p3、p6和位移xd、xz作为变量，得到一个含有变量的7阶闭环传递函数。对传递函数的分母即闭环特征方程进行分析，发现影响系统稳定性且可调节的设计参数有7个：节流孔面积a2、a3、a5、a6、a7及压差活门和执行活门的弹簧刚度kd、kz。

根据特征方程根轨迹判断稳定性的原理，对燃油计量装置上述7个参数由0变化到正无穷，观察特征方程的根轨迹。

等压差活门弹簧刚度kd的值由0变化到正无穷(原始值为4.8×104N/m)，其他参数保持不变时，闭环特征方程的根轨迹在复平面上，如图3所示。其中：圆圈代表0点；叉号代表极点；B点为kd取原始值4.8×104N/m时的根所在的位置；A点为kd扩大为4.84×104N/m时的根所在的位置；C点为kd缩小为4.75×104N/m时的根所在的位置。根据特征方程根轨迹判断稳定性的原理，因B点处于右半复平面，所以燃油计量装置是不稳定的，出口流量、压力出现了振荡现象。

通过根轨迹图，可以判断出在一定范围内，kd逐渐增大，可以使得B点逐渐向左移动，出口流量、压力的振荡幅值逐渐减小，当B点穿过虚轴进入到左半复平面后，系统将处于稳定状态，理论上振荡现象将完全消失；kd逐渐减小，将使得B点向右移动，振荡幅值将会增大。

图3 kd作为参数的根轨迹

在原始值4.8×104N/m的基础上增大和缩小kd，通过MATLAB仿真观察振荡幅值的变化，结果如图4所示。可以看出，kd增大，振荡幅度减小，反之亦然。这与根轨迹图得到的结论相一致。

但是，kd的值也不能过大，因为随着kd的增加，等压差活门控制的稳态误差也会随之增加。图5为等压差活门的输出值(压差)在不同kd值下随计量活门位移(对应流量)变化的曲线。可见增大kd要兼顾稳定性与稳态精度的平衡。

图4 出口压力振荡幅值随kd的变化

图5 kd对稳态误差的影响

研究发现节流孔6的面积a6对稳定性影响十分明显且不是单调的变化关系。图6(a)、图6(b)分别为a6从0到正无穷时的根轨迹和a6在原始值附近变化的输出振荡幅度。图6(b)中，B点为a6取原始值8.171×10-7m2时的根所在的位置；A点为a6缩小为3.109×10-6m2时的根所在的位置；C点为a6扩大为7.234×10-7m2时的根所在的位置，点为a6扩大为5.049×10-6m2时的根所在的位置。

通过根轨迹图，可以判断出在一定范围内，a6逐渐减小，可以使得B点逐渐向左移动，出口流量、压力的振荡幅值逐渐减小，当B点穿过虚轴进入到左半复平面后，系统将处于稳定状态，理论上振荡现象将完全消失；a6逐渐增大，B点距离虚轴的距离先增大后减小，但是始终处于右半复平面，因此a6逐渐增大，振荡幅值将会先增大后减小。

图6 a6作为参数的根轨迹

通过仿真观察增大和缩小a6时振荡幅值的变化，结果如图7所示。可以看出，a6减小，振荡幅度减小；a6增大，振荡幅度先增大后减小。这与根轨迹图得到的结论相一致。由此可见a6的原始值正是处于稳定性不佳的取值范围，因此改变这一设计参数可以有效改善燃油计量装置稳定性。

图7 出口压力振荡幅值随a6的变化

类似地，可以用根轨迹法分析其余5个参数对稳定性的影响。限于篇幅，这里不再给出其根轨迹图，分析结果见结论。

4 基于李雅普诺夫函数和遗传算法的多参数稳定性设计方法

通过根轨迹的方法分析并找到了对系统稳定性有着较大影响的5个设计参数：等压差活门和执行活门的弹簧刚度kd、kz以及节流孔面积a5、a6、a7。然而，该方法只能得到在其他设计参数保持不变时，单独的某一个设计参数对系统稳定性的影响，进而通过改变这个参数来改善系统的稳定性。但是，如果仅仅通过改变一个设计参数的值来改善系统稳定性，有时需要对这个参数做较大幅度的改动，这可能在工程上不易实现。例如，将节流孔a5的面积扩大为原来的1.6倍后，出口燃油压力还是存在小幅度的振荡，如果想要完全消除振荡，节流孔a5的面积需要继续扩大，但是a5的面积如果较大的话会导致回油流量损失。为了研究多个设计参数同时作用时对系统稳定性的影响，从而通过同时调节多个参数来改善系统的稳定性，决定采用基于李雅普诺夫函数和遗传算法的多参数稳定性设计方法[8]，令：

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

式中矩阵A2是一个含有变量kd、kz、a5、a6、a7的7阶方阵。依次计算出矩阵A2的各阶顺序主子式，令其满足半负定矩阵的性质。利用MATLAB的工具包Optimization中的遗传算法，将各阶主子式设为目标函数，并限制这5个设计参数与原始值的差值分别在±5%、±10%、±30%、±50%以内，通过遗传算法寻优可以得到4组不同的设计参数。接下来利用优化前后的设计参数对燃油计量装置进行仿真，仿真条件是进口压力为9 MPa，计量活门阀芯位移为11.3mm，得到优化前后的出口燃油压力仿真结果如图8所示。图8(a)是参数优化前的出口燃油压力响应曲线，可以看出，出口压力存在振荡现象，振荡幅值大约是±430 kPa，频率大约是10 Hz；图8(b)是参数优化后的出口燃油压力响应曲线(设计参数与原始值的差值限制在30%以内)，可以看出，参数优化后，出口压力的振荡很快衰减。

通过仿真研究了优化前后设计参数的调节时间，发现调节时间随着限制差值范围的增大而减小，当设计参数与原始值的差值限制在5%、10%时，调节时间较长，系统的动态性能较差；当差值限制在30%、50%时，调节时间明显缩短。当然这意味着设计参数偏离原始值较大。

图8 出口燃油压力响应曲线

5 结语

1)燃油计量装置是一个闭环控制系统，通过对非线性方程的线性化，利用闭环特征方程的根轨迹以及基于李雅普诺夫函数和遗传算法的多参数稳定性设计方法分析其稳定性是可行的。

2)适当增大等压差活门和执行活门的弹簧刚度kd、kz的值，可以改善稳定性，但是会增大稳态误差，所以参数设计中要考虑两者的平衡。

3)节流孔a6是对稳定性有重要影响的参数，且当前设计值(孔面积)处于不合理的区域。节流孔a2和a3对稳定性的影响不显著；增大节流孔a5和a7能改善稳定性，但是不建议增大太多，因为会导致回油流量损失。

4)利用李雅普诺夫稳定性理论，研究了多个设计参数同时作用时对系统稳定性的影响，并利用MATLAB的工具包Optimization中的遗传算法进行寻优，得到优化后的设计参数，提高了系统的稳定性。