神奇的“贾宪三角”

文／唐 佳

同学们，我们知道，完全平方公式用字母表示就是（a+b）2=（a+b）（a-b）。早在我国的北宋时期，数学家贾宪就给出了（a+b）2、（a+b）3、（a+b）4展开后的公式。他在撰写的《黄帝九章算法细草》中，提出了一个著名的三角——贾宪三角（如图1）。不过该书的原书遗失了，但其主要内容被南宋数学家杨辉（约13世纪中）的著作所抄录，使这部分内容得以传世。

图1

贾宪三角实际上是一个算表，相当于二项式定理系数表。在西方，这个三角被称为帕斯卡三角。但帕斯卡三角比贾宪三角出现的时间晚500多年。

在贾宪三角中，完全平方公式展开后的系数，就对应着第3行的数字。根据第5行的数字，我们可以很方便地写出二项式的四次方公式：（a+b）4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4。

类似的，同学们不妨依据贾宪三角，试一试写出（a+b）的五次方、六次方公式。

贾宪三角中给出的系数，其实是“取法”的个数。以（a+b）的四次方公式为例，按照四次方的定义，（a+b）的四次方就是4个相同的多项式（a+b）的乘积，依据多项式乘多项式的法则，计算（a+b）的四次方，需要每一个多项式的每一项乘其他多项式的每一项，乘得的结果都是4次单项式。这些单项式中，a和b的次数相当于分别从含有它们的多项式中取出来的个数，而取法就是该项的系数。比如4a³b这个单项式，就是从4个含有a的多项式中取出3个a，一共有4种取法，或者说从4个含有b的多项式中取出1个b，一共有4种取法。

关于二项式更一般的公式，我们将在高中深入学习。到那时，学完“取法”（组合数）相关的知识后，我们就更容易理解了。

同学们，数学故事精彩丰富，数学文化博大精深。我们在学习数学知识的同时，可以多了解历史上相关的故事，从中获得启发。