数形结合，攻破易混点

文／闫 燕

圆是中考考查的热点，但这部分知识概念杂、公式多，同学们在学习时容易前后混淆。下面，老师将常见的易混点进行举例分析，希望对同学们的学习有所帮助。

一、找不准点与圆的位置关系

例1已知一个点到圆上的点的最大距离是5，最小距离是1，则这个圆的半径是________。

【解析】本题要分两种情况考虑。如图1，点C在圆外。因为AC=1，BC=5，所以AB=4，所以AO=2。如图2，点C在圆内。因为AC=1，BC=5，所以AB=6，所以AO=3。综上所述，这个圆的半径是2或3。

图1

图2

【点评】解决本题最常见的错误是没有找准这个点与圆的位置关系。如果这个点在圆上，那么点与圆上的点的最小距离是0；如果点不在圆上，那么就要注意考虑点在圆外或圆内两种情况。

二、混淆2倍弧和2倍弦的关系

例2在同圆中，弧AB、弧CD都是劣弧，且弧AB等于2倍弧CD，则AB与2CD的大小关系是 _____。

【解析】如图3，取弧AB的中点E，连接AE和BE。因为E是弧AB的中点，所以。又因为弧AB等于2倍弧CD，所以，所以CD=AE=BE。在△AEB中，因为AE+BE＞AB，所以2CD＞AB。

图3

【点评】很多同学认为弧是2倍关系，那么弦也是2倍关系。解决这道题的关键是找到弧AB的中点，构造与弧CD相等的弧。

三、忽略两平行弦的位置

例3设AB、CD是⊙O的两条弦，AB∥CD。若⊙O的半径为5，AB=8，CD=6，则AB与CD之间的距离为________。

【解析】如图4，过点O作OF⊥AB于点F，延长FO交CD于点E，连接OC、OA。因为OF⊥AB，AB∥CD，所以OE⊥CD，所以，所以AF=4，CE=3。在Rt△AFO中，因为OA=5，AF=4，所以OF=3；在 Rt△CEO中，因为OC=5，CE=3，所以OE=4。所以EF=OE+OF=7。

图4

如图5，过点O作OE⊥CD于点E，交AB于点F，连接OC、OA。所以EF=OE-OF=1。

图5

综上所述，AB与CD之间的距离为7或1。

【点评】两条平行弦的位置可能在圆心同侧，也可能在圆心异侧。

四、忽略了对外心位置的讨论

例4如果点O为△ABC的外心，∠BOC=70°，那么∠BAC等于________。

【解析】当外心O和点A在BC同侧时，如图 6、图 7。因为所以∠BAC=35°。

图6

图7

当外心O和点A在BC异侧时，如图8。在BC所对的优弧上取点D，连接BD和CD。

图8

因为∠BDC=∠BOC，∠BOC=70°，所以∠BDC=35°，所以∠BAC=180°-35°=145°。

综上所述，∠BAC=35°或145°。

【点评】很多同学在解决本题时忽视外心的位置，只考虑外心O在三角形内部这一种情况。