电磁波的多普勒效应公式推导及应用

丁佐建

（常州市第一中学，江苏 常州 213000）

电磁波多普勒效应是高中物理竞赛中的难点.在许多文献中，有关电磁波多普勒效应公式的推导过程和表达形式大量使用了向量、矩阵、复数等数学工具，远远超出了中学生认知和理解的范畴，因此给出基于高中学生知识和能力基础上的相关推导很有必要.

本文应用狭义相对论时间变换，简洁明了地推导出电磁波多普勒效应公式，大大降低了理解的难度.呈文如下供参考.

1 巧推公式

与机械波不同的是，电磁波（光波）波速对一切惯性参考系是确定不变的，电磁波的多普勒效应只取决于波源和观察者之间的相对运动速度v，而不必区分是波源运动还是观察者运动，因此电磁波的多普勒效应公式一定与机械波多普勒效应公式不同，不可照搬机械波的多普勒效应公式.

如图1，在0时刻，电磁波（光波）源S相对观察者E的相对位置如图，波源S以速度v相对E运动，速度矢量v与位置矢量r的夹角为α，研究产生一个完整波形的过程，对波源参考系而言时间为波源周期T0（T0→0），在观察者参考系中时间为t，由相对论时间变换得

图1

在观察者参考系中，波源S运动了距离（vt）（vt→0）到达S′，此时S′相对E的位置矢量r′.

2 特例讨论

通常v≪c，由上可以看出，在同等相对速度大小的情况下，横向相对运动引起的多普勒效应的频率差远小于纵向相对运动的多普勒效应频率差，在中学物理阶段一般不考虑横向相对运动引起的多普勒效应.

3 奇思妙解

例题.（第32届全国中学生物理竞赛复赛）如图2，飞机在距水平地面（xz平面）等高的航线KA（沿x正方向）上，以大小为v（v远小于真空中的光速c）的速度匀速飞行；机载雷达天线持续向航线正右侧地面上的被测固定目标P点（其x坐标为xP）发射扇形无线电波束（扇形的角平分线与航线垂直），波束平面与水平地面交于线段BC（BC随着飞机移动，且在测量时应覆盖被测目标P点），取K点在地面的正投影O为坐标原点.已知BC与航线KA的距离为R.天线发出的无线电波束是周期性的等幅高频脉冲余弦波，其频率为f0.已知机载雷达天线经过A点（其x坐标为xA）及此后朝P点相继发出无线电波信号，由P反射后又被机载雷达天线接收到，求接收到的回波信号的频率与发出信号的频率之差（频移）.

图2

解析：这是一道有相当难度的电磁波多普勒效应试题.命题组从波动理论出发给出了长达数页的解答过程，［1］即使是优秀的竞赛考生也难以在有限的考试时间内按照命题组的思路做出完整而正确的解答（为节约版面在此不做呈现）.如果采用上述电磁波多普勒效应公式，则能思路清晰、过程精干地快速解答.

如图3，在KBC平面内，电磁波从A点发射到达P点，P点看作观察者，所以P点接受到的电磁波的频率为

图3

电磁波P点反射到飞机接受，P点看作电磁波波源，飞机接受的电磁波频率为

4 小结与反思

简洁而美妙的逻辑过程和解题方法能有效地提升学生的高阶思维能力、激发探索热情，但命题组的参考答案为什么长达数页呢？原因是命题组从波动原理出发，将电磁波多普勒效应用经典物理方法重新演绎了一遍，但冗长的过程和复杂的近似运算大大弱化物理思想、物理结论的呈现，干扰了学生对物理思想和物理方法的深入思考.

将电磁波多普勒效应公式的推导放在“相对论”教学之后，并有意识地与机械波的多普勒效应进行对比，就会大大降低学生理解的难度，对公式的推导有了透彻的理解，这个公式就会成为解决此类问题的利器.