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一道模拟试题的解法探究与变式

2022-04-16甘肃省武威市凉州区东关小学顾兴德

中学数学 2022年14期
关键词:垂线过点直角

甘肃省武威市凉州区东关小学 顾兴德

1 引言

好的考试题凝集着命题老师的智慧,体现着课改要求和命题导向.这些试题往往给考生较大的发挥空间,可以较为公正地检测考生的学习成绩.在平时的学习中,深入探讨这些试题的多种解法,可以培养数学思维的深刻性、灵活性;对这些题目进行变式探究,可以加强知识间联系,实现方法和技能的融会贯通,从而提高解题能力,并促进创新精神和探究意识的发展.本文以一道中考模拟试题为例进行多向探究,供同学们学习参考.

2 题目呈现

(2021湖北黄石中考模拟)如图1,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC, ∠DCB=75°, 以CD为一边的等边△DCE的另一顶点E在腰AB上.

图1

(1)求∠ADE的度数;

(2)求证:AB=BC;

3 解法探究

本题以特殊而常见的几何基本图形:直角梯形和等边三角形组合创设问题,探求其中的特殊角、相等的线段.题目设置了具有层次的三个问题,由浅入深,引导同学们探究,有利于增强解决问题的信心.关注了学生的个体差异,体现了课标中“以人为本”的理念.第(1)问较简单,只要根据等边三角形的性质,求出∠DEC=60°=∠ECD,则∠BEC=75°,便知∠ADE=∠AED=45°,由此知道AE=AD.第(2)问在前问的基础上,继续观察、分析这个基本图形,要证AB=BC,只须说明∠BAC=45°,因此辅助线的作法是:连接AC,至此易看出△AEC≌△ADC(SSS),问题得以解决.本题的难点在第(3)问,虽然猜测到DF=CF,但怎样将已知条件与结论进行有效转化,不少同学望“题”兴叹.下面重点对它作详细的分析探究.

思路一:注意到∠FBC=30°且AD∥BC,可构造新的三角形与△BFC全等来求解.

解法1:如图2,延长AD,BF交于点G.

图2

因为AD∥BC,∠FBC=30°,由两直线平行,内错角相等知∠G=30°.

在含30°角的Rt△ABG中,

又∠BFC=∠BCF=75°,得

BF=BC=AB

解法2:如图3,连接AF,分别延长AD,BF交于点G.

图3

思路二:注意到图形中隐藏着另一个等边三角形ABF,可构造出新的三角形与△ADF(或△BCF)全等.

解法3:如图4,连接AF,在BC上截取BM=AD,连接FM.

图4

由已知条件知∠ABF=60°,又AB=BC=BF,则△ABF为等边三角形.根据对称性∠DAF=∠FBC=30°,易证△ADF≌△BMF(SAS).再由全等性质知DF=FM,∠FMB=∠ADF=105°,则∠FMC=75°=∠BCD,即FC=FM.

解法4:如图5,连接AF,延长AD到点N,使AN=BC,连接NF.

图5

思路三:要证F为CD中点,根据平行线分线段成比例定理逆向思考,只须构造平行线即可.

解法5:如图6,分别过点D,F作BC的垂线,垂足分别为点H,G,则DH∥FG.

图6

图7

思路四:三角函数法.在直角梯形内构造垂线,在直角三角形中,用等角的三角函数值表示CF,CD.

解法7:过点D,F作BC的垂线,垂足分别为点H,G(如图6所示) ,易知∠HDC=∠GFC.

又DH=AB=BC=BF=2FG,

即DH∶FG=2∶1.

思路五:构造平行线,由三角形的中位线的逆定理求解.

解法8:如图8,过点F作FM∥DE交EC于点M,连接BM.

图8

思路六:构造平行线,由梯形中位线的逆定理求解.

解法9:如图9,过点F作FH∥BC交AB于点H,连接AF.

图9

解法10:如图10 ,过点F分别作AB,BC的垂线,垂足为H,G.

图10

思路七:图形中存在多条线段与CD相等,又含有30°的特殊角,通过构造直角三角形,利用三角形相似得出边之间的关系求解.

解法11:如图11 ,过点F作FH⊥BC于点H.

图11

解法12:如图12, 过点C作CG⊥BF于点G.

图12

思路八:由△CDE是等边三角形,要证F为CD中点,只要证EF是高即可.因此,进一步只要证∠FEC=30°即可.

图13

思路九:由直角梯形一组邻边AB=BC想到补成一个正方形,再只要证FG为Rt△CDG的斜边CD上的中线即可.

解法14:如图14,过点C作直线AD的垂线,垂足为点G,连接AF,FG.

图14

易证△ABF是等边三角形,则AF=BF,因此点F在AB的中垂线上.而四边形ABCG是正方形,则点F也在CG的中垂线上,所以

CF=GF

得∠FGC=∠FCG=15°,因此∠DGF=75°.又∠FDG=∠DCB=75°,所以∠DGF=∠FDG,可得

DF=FG

4 变式探究

(1)条件与结论互换,建立原命题的逆命题.

建立并讨论几何命题的逆命题,是几何命题教学中最为常见的一种演变方法.

变式1把原题目中的条件“∠FBC=30°”与结论“DF=FC”互换后,命题仍然成立.

其证明过程可类比上面的14种方法进行,此处略.

(2)变更部分条件后的结论探究.

原题目是以等边三角形进行探讨,若换成等腰直角三角形会怎样呢?

变式2如图15,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC,E是AB上一点,△CDE是等腰直角三角形,∠CED=90°,F是CD的中点. 求证:△ABF是等腰直角三角形.

图15

变式3把“变式2”中的条件“F是CD的中点”与结论“△ABF是等腰直角三角形”互换,命题成立.

(3)减少条件后的结论探究.

如果适当减少原题的一些条件,所得的图形中又蕴藏着什么特性呢?

变式4如图16,在直角梯形中,∠ABC=∠BCD=90°,AB=BC=10,点M在边BC上,使得△ADM为正三角形.

图16

(1)△CDM与△ABM的面积和是______;(2009年上海新知杯数学竞赛题)

(2)S△CDM∶S△ABM=______.(2010年四川省初中数学竞赛题)

图17

(2)DM2=x2+x2,AM2=102+(10-x)2.

说明:如果把“变式4”中的“AB=BC=10”换成“AB=BC=a”,其他的条件、所求的问题都不变,怎样解答?同学们试一试.

5 结语

好题普遍具有思维广、内涵深的特征,它们通常人口宽,生成性强,适合开放性教学.本题中的梯形,等边三角形是学生常见的图形,如何利用富有创意的好题,生成新的知识生长点,促进学生思维的开发,值得一线教师深人思考与实践.解题教学中,教师应放手让学生参与探究,一题多解、一题多思,有助于学生开阔思维视角,形成发散性思维,提高问题研究的敏锐性.

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