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例谈解析几何中的定值问题

2022-04-16福建省莆田第六中学苏雪晶

中学数学 2022年13期
关键词:双曲线定值斜率

⦿福建省莆田第六中学 苏雪晶

1 引言

定值问题和定点问题是解析几何高考题中的热点题型.本研究重点探究定值问题中如何转化,优化运算,提高解题效率等问题.定值问题一般涉及与曲线上的动点、线系等有关的定值问题以及与圆锥曲线有关的弦长、面积、横(纵)坐标、长度比值,掌握了定值求值规律和技巧,会更好地解决这一类问题,做到由此及彼、触类旁通.

2 定值问题题型分析

解题过程中,要总结解题方法,理解解题策略,通过有效的方法来分析,达到掌握通性通法,面对相关问题都可以轻松应对.在解题时要引入核心变量,将所求表达式用核心变量表示,通过推理、计算,消去变量,从而得到定值.定值的确定是解题的根本,也是解题的最终目标.当然实践是检验真理的唯一标准,我们要深入掌握这类题型的解题方法,必须勤加练习,积累解题经验,优化解题过程,不断调整解题策略,下面让我们通过几个典型例题来小试牛刀.

2.1 题型一:斜率定值问题

(1)求抛物线C的方程;

(2)抛物线C上一点A的纵坐标为1,过点Q(3,-1)的直线与抛物线C交于M,N两个不同的点(均与点A不重合),设直线AM,AN的斜率分别为k1,k2,求证:k1k2为定值.

解析:(1)抛物线C的方程为y2=x.(过程略)

(2)因为点A在抛物线C上,且纵坐标yA=1,所以A(1,1).

设过点Q(3,-1)的直线方程为x-3=m(y+1),即x=my+m+3.

式①代入y2=x,得y2-my-m-3=0.

设M(x1,y1),N(x2,y2),由韦达定理得

y1+y2=m,y1y2=-m-3.

因此,k1k2为定值.

反思:解答时要明确解答的思路,这点并不困难,难点在于联立方程后结合条件化简运算.在解题时,不仅要明确题目中的已知数据和要求,还要掌握联立方程后结合韦达定理进行化简运算,提高计算能力,掌握计算技巧.

2.2 题型二:面积定值问题

(1)求双曲线C的方程;

(2)直线l与x轴正半轴相交于一点D,与双曲线C右支相切(切点不为右顶点),且l分别交双曲线C的两条渐近线于M,N两点,证明:△OMN的面积为定值,并求出该定值.

(2)因为直线l与双曲线C右支相切(切点不为右顶点),所以直线l的斜率存在且不为0.

(8-k2)x2-2kmx-m2-8=0.

由直线与双曲线右支相切得,Δ=4k2m2-4(8-k2)(-m2-8)=0,即8-k2=-m2.

反思:本题考查了双曲线方程的求解以及直线和双曲线(或其渐近线)相交时产生的相关面积定值问题.解答时要注意结合图形的几何特征合理使用公式.本题需要选择表示三角形面积的最佳路径,从而将面积转化为坐标关系继而解答,化简整理时,运算比较繁杂,要十分细心.

=(λ-1)[fn-1(λ,1)-fn-1(w,1)]+(u-1)[fn-1(u,1)-fn-1(w,1)]+

2.3 题型三:相关比值定值问题

(1)求椭圆C的方程;

(2)证明:由题意可知,F(1,0),直线l的方程为y=k(x-1).

(4k2+3)x2-8k2x+4k2-12=0.

设P(x1,y1),Q(x2,y2),则

于是直线MN的方程为

反思:解题过程中要明确解题方法和其中包含的数学思想.

认真审题,分析解题用到的数学思想方法,学会借助韦达定理来表示每一条线段长.当解题思路明晰时,会发现线段长都用核心变量表示出来后就能求出定值.分析时要寻找题目中已经给出来的已知信息,判断不同数据之间的逻辑关系,在推理中把握联系,形成客观性认识,明确思路,快速解题.

3 总结

以上几种思维策略是高中数学中常用方法,对于较为复杂的问题,可先采用特殊位置(如直线斜率不存在或为0)或者对称关系求出定值,进而给后面一般情形指明方向;运算中尽量利用变量之间关系(如点的坐标符合曲线方程等)做到整体代入,设而不求,简化运算.要想在高考中运用自如,需要在平常的解题过程中多加实践,不断理清思路,积累经验,提升逻辑思维能力和运算能力,最终达到对此类题型熟能生巧、胸有成竹.

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