基于数学核心素养的“函数的概念”教学设计

⦿广州市玉岩中学 广东省吴和贵名教师工作室 吴和贵

1 引言

数学核心素养的提出,为高中数学教学设计和学习方式的转变提供了引领性的支撑,从发展学生核心素养的角度集中体现了数学学科的育人价值,是三维目标的提炼和升华.

“函数的概念”作为函数大概念下的起始知识,从初中的“变量关系说”到高中的“对应关系说”的转变,既是重点,也是难点,其核心是对函数的概念(定义)的理解.下面以“函数的概念(第一课时)”新授课的教学设计为例，谈谈笔者的一些想法与思考.

2 内容解析

2.1 内容

本节内容计划安排两个课时.本课时为第一课时，该课时主要从函数定义、函数符号以及函数三要素这三个方面对函数概念进行理解，并与初中所学的函数定义进行比较.

2.2 所处的地位、作用与意义

“函数的概念”是人教版普通高中实验教科书必修一第一章第二节第一课时的内容，是高考重点考查的内容之一，也是中学教材中一个重要的基本概念.在初中阶段，学生们已经学习了一次函数、二次函数、反比例函数等，这为过渡到本课题的学习起到了铺垫的作用.它是对前面已学的集合的巩固和应用，同时也为即将学习的幂函数、指数函数、对数函数等内容提供知识基础和工具支撑.它在整个教材中起着承上启下的作用.函数概念具有高度的抽象性，是培养学生数学抽象、逻辑推理等核心素养的重要载体.

2.3 教学重、难点

教学重点：通过创设的问题情境，学生从中体悟到在两个非空集合间所存在的对应关系f，并会使用集合和对应的语言刻画这一关系，实现对函数概念的意义建构.

教学难点：理解函数概念的本质，尤其是符号和对应关系含义的理解.

3 学情分析

(1)知识基础：在初中阶段，学生已从“变量关系说”的角度学习了函数，具有一定的知识基础；高一又学习了“集合”的相关知识，为接下来用“对应关系说”定义函数以及对函数本质属性的揭示提供了知识层面的保障.

(2)思维基础：高一学生已具备初步的分析、推理、抽象概括能力和理解能力，通过初中的学习，学生能用“变量关系说”来描述函数的定义，但用新接触的“对应关系说”来描述函数的定义尚有一定的困难.

因此，从所创设的问题情境中抽象归纳出函数概念时，需要让学生充分地去探索、去体验方能做到，对学生发现问题、分析问题的能力有较高的要求.

4 教学目标设置

基于以上分析及课程标准的要求，本节课的教学目标设置如下：

(1)通过分析所创设的三个问题情境的共同属性，归纳发现函数的本质属性，会用“对应关系说”来描述函数，培养数学抽象素养；

(2)通过对函数定义的分析，提取函数的三要素，并从函数三要素的角度去判定两个具体函数是否是同一个函数的过程，培养逻辑推理素养；

(3)通过具体函数求解的过程，体会对符号y=f(x)和对应关系f含义的理解，培养学生逻辑推理素养.

5 教学策略选择

教法选择：本节课的教学策略要有利于暴露函数本质的过程，从而构建函数的“对应关系说”定义.

数学概念教学是一种“重构”活动，是一个“意义”赋予的过程，数学概念一般经历概念引入、理解、运用等三个阶段.

由于本课题是从集合与对应的角度揭示函数的本质，无论难度还是跨度都有质的飞跃.依据高一学生的认知特点和年龄特征，本节课采取“支架式教学”来组织教学：以问题串为支架，通过对所设置的若干个具体的问题情境(支架)的探究，去发现两个变量间都具有的关系，提炼出函数的本质属性.

学法选择：本节课在教师的主导下，学生通过对所创设的问题情境进行观察、分析、类比、探究、发现，归纳出函数概念的本质属性，因此自我探究、思考、总结、归纳，自我感悟，合作交流与对话等是本节课的主要学习方式.

教学媒体选择：为增加学生的直观感知，提高课堂效率，充分发挥多媒体快捷、生动、形象的特点，本节课采用黑板板书加PPT与《几何画板》等进行教学.

6 教学过程设计

为落实“数学教学要为思维而教”的教学理念，本节课共设置7个教学环节：复习旧知，引发冲突；创设情境，意义建构；概念剖析,深化理解；典例研究，迁移应用；巩固新知，检测评价；反思总结，提高认识；布置作业，分层落实.

6.1 复习旧知，引发冲突

问题1：请举出初中学过的一些函数.

追问1：能具体说一下初中是如何定义函数的吗?

师生活动：师生共同回忆初中所学的运用“变量说关系”定义函数.

设计意图：对初中函数定义进行回忆，为接下来将要探究的追问2作铺垫.

追问2：请问y=1(x∈R)是函数吗？

学生活动:学生经过探究、思考、争论，最终形成两种观点.一种观点认为是函数，理由是每个x都有唯一的y与之对应；另一种观点认为不是函数，因为1不再是变量.争论不休，无法解决.

教师适时发声：看到大家的争论，我感到非常欣慰，说明大家都在思考.其实，就y=1(x∈R)是否是函数这样的争论在数学发展史上也曾发生过，这个问题数学家争论了很多年也困扰了很多年.直到19世纪末德国数学家康托尔的集合论的诞生，这个困惑才得以消除，以前有关函数概念的缺陷才得以修正，至此，才真正把y=1(x∈R)这样的函数最终纳入函数的大家庭中来.那么数学家是如何利用集合理论，对函数的概念进行修正的呢？今天就一起来做进一步的探讨.

设计意图：因认知能力所限，初中所学函数知识回答不了上述问题，引发认知冲突和困惑，有助于激发学生的学习热情和探究意识，从而引出本节课的主题(用PPT打出课题：1.2.1函数的概念).此外，在数学教学中渗透数学文化，既可以提高学生的学习兴趣，还可以守护数学历史，积淀数学智慧.

6.2 创设情境，意义建构

创设问题情境：(用多媒体依次展示教材中三个对应的实例)

问题情境1：“炮弹飞行时高度与时间的对应关系”以函数解析式形式给出.(问题情境从略)

问题情境2：“南极臭氧空洞面积与时间的对应关系”以图象形式给出.(问题情境从略)

问题情境3：“八五”计划以来我国城镇居民的恩格尔系数与年份的对应关系，此问题情境以表格形式给出.(问题情境从略)

并在每一个问题情境后提出：

问题2：①该问题情境涉及到几个变量？每个变量的范围如何用集合表示？

②与第一个变量对应的另一个变量的值一定存在吗？若存在，唯一吗？

学生活动：观察三个实例并思考前述问题组，尝试回答.

设计意图：由学生自主探究并发现每个问题情境各自的特点，回答问题，既培养了学生的发现问题、分析问题的能力，又培养了学生的探究意识和提取信息的能力，进而发展了学生的逻辑推理和数据分析素养.

问题3：这三个问题情境中的两个变量之间的关系有什么共同特点?

学生活动，归纳发现共同点：①均存在两个非空数集；②都具有一种确定的对应关系；③都具有任意对唯一的特点.

教师活动：在学生回答基础上介绍符号，具有上述特点的对应可用：f:A→B,x∈A,y∈B来表示.由于y是x经过f对应过来的结果，所以也可写成y=f(x),x∈A,同时指出这样的对应就是高中所定义的函数.

设计意图：先由学生自主探究所给的三个问题情境的共同属性，对所给的三个问题情境，学生通过观察、分析、比较、发现、归纳、概括等环节，抽象出函数概念的本质，既培养了学生的创新意识，又培养了学生的抽象思维素养.

问题4：你能用集合与对应的语言来描述函数吗？

师生活动：在师生协同努力的基础上引入函数的概念(“对应关系说”定义)(定义从略).

设计意图：函数概念教学关键点除了让学生理解其引入的必要性、合理性，就是理解其本质属性.这些实质性的内容要留给学生探究体验，这样的学习才是深度学习.因此，对三个问题情境共同属性的概括，应由学生以自主探究与合作交流的方式完成，但函数规范表述却不是适合探究的内容，因此，函数规范表述的给出最好由教师讲授，师生协同完成.

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6.3 概念剖析,深化理解

问题5：请找出函数概念中的关键词，并用简洁的语言加以说明.

学生之间交流互动给出：

(1)两个非空的数集；

(2)任意性与唯一性；

(3)存在确定的对应关系，且对应关系既可以是解析式，也可以是图象，还可以是表格.

追问3：下列各图中，不能是函数f(x)图象的是( ).

设计意图：概括出函数概念后，需对概念的“注意事项”进行辨析，加深学生对概念的理解.如果这些“注意事项”仅就抽象的定义，围绕“关键词”来讲解，学生头脑中根本就没有理解这些细节的背景例证，而刚接触的定义又极其抽象，如果只是这样强调“细节”，结果只能是令学生越听越糊涂.

显然，仅以教材中的“思考：分析归纳以上三个实例中变量之间的关系有什么共同点？”就让学生概括回答有点不现实.由于问题缺少具体的方向，学生要回答这一“思考”还是有难度的，教师应为学生搭建“支架”，具体做法是把“思考”具体化，分解成切实可行的小问题(见问题5及其追问).

问题6：基于对函数概念的理解，你认为函数由几个要素构成?

师生活动：函数由定义域、值域、对应关系这三个要素构成，我们称之为函数的三要素.

追问4：回忆初中所学过的函数，你能举例说明它们的三要素分别是什么吗？

追问5：根据函数定义，请大家重新思考一下刚才的追问2：y=1(x∈R)是函数吗？

学生思考、回答：是一个函数，因为符合函数的定义.

追问6：该函数的定义域、值域和对应关系f是怎样的？

学生活动略.

追问7：该函数与函数y=x0是同一函数吗？

师生活动：不是.因为定义域不同，只有当两个函数的三要素都相同时，这两个函数才是相同的函数.

追问8：下列函数中哪个与函数y=x相等？

设计意图：对函数概念进行辨析之后，还需对函数的三要素和相同函数等进行说明，这些都应该在教师的引导下由学生完成.因此，回到一开始争论的问题，通过不停的追问，不仅实现问题的解决，而且还收获了新的知识.

6.4 典例研究，迁移应用

变式1：能否利用f以一种更简洁的方式表示上述结果？

变式2：你能继续求出f(2021)的值吗？

教师引导学生归纳：f(x)就是数x在对应法则f的作用下所对应的数.

教师告诉学生：这其实也是18世纪瑞士数学家欧拉当年的函数记法，可以说我们今天就是在学数学家欧拉的发明.

变式4：当a>0时，求f(a),f(a-1)的值.

设计意图:函数概念最大的难点在于对抽象符号“f:A→B,y=f(x),x∈A,y∈B”的理解.难，主要体现在两点：一是对应关系f含义的理解；二是符号f(x)的理解及使用.

教学中应利用具体函数例证，特别是图象、表格表示的函数，使学生逐步体会对应关系f的含义.此外，教学中应向学生呈现丰富的多种形式的实际问题为背景的函数问题，使极其抽象的函数符号f(x)具有与之相对照的实际背景，使学生从中体会到数集A中任一个数x在对应关系f的作用下所对应的数集B中的唯一元素等具体信息.因此，精心设计教材例1的教学，借助具体到抽象、特殊到一般的认知规律，让学生学会使用符号，有利于其逻辑推理素养的培养.

6.5 巩固新知，检测评价

(1) 已知函数f(x)=3x3+2x,求f(2)+f(-a)的值.

(2)下列各组函数f(x)与g(x)表示同一个函数的是( ).

A.f(x)=1，g(x)=x0

(3)设M={x|-2≤x≤2}，N={y|0≤y≤2}，给出下列4个图形，其中能表示以集合M为定义域，N为值域的函数关系的是( ).

(4)下列表格中的x与y能构成函数的是( ).

学生活动:由学生自主完成的同时分别找四个学生在黑板上各完成一题，而后师生共同评价完善.

设计意图:本环节一是进一步深化对函数概念的理解，二是进行教学效果检测与评价.

6.6 反思总结，提高认识

问题7：回顾上述学习过程，请从知识和思想方法等方面来谈谈你的想法和感悟.

设计意图：对本节课所学的主要内容和所涉及到的思想方法，应先由学生自己去归纳总结，并说出来，而后老师作适当点拨，这样既深化了学生对所学知识的理解，又培养和锻炼了学生的概括与语言表达能力等，从而实现深度学习，发展核心素养.

6.7 布置作业，分层落实

作业：(1)运用今天所学的知识，请列举日常生活中函数的实例(至少列举三个)，并用集合与对应的语言来描述函数.

(2)①(必做题)教材第24页第2,4,5,6题.

②(选做题)已知函数f(x)满足：f(p+q)=f(p)f(q)，f(1)=3，则

设计意图：分层次要求，分层次作业，使所有学生巩固所学知识，使不同层次的学生都能得到提高.根据因材施教的原则，布置必做题和选做题，必做题要求学生全部完成，选做题要求学有余力者完成即可.

7 教学思考

高中数学概念教学要树立以发展学生数学核心素养为导向的教学意识，着力创设有利于发展学生核心素养的教学情境，启发学生探究，体会其中蕴含的数学思想，教会学生“数学地思考”，引导学生把握数学概念的本质.上述教学设计基于学生现有认知能力，关注学生数学核心素养的培养，以问题引导学生学习，体现的是深度学习，具体体现在以下几个方面：

(1)在突出重点、突破难点的过程中培养学生的核心素养.

上述教学过程设计围绕函数概念的“对应关系说”定义这一重点和难点，通过三个具体问题情境和5个问题(问题1到问题5)来突出重点，突破难点.其中，引发认知冲突是概念生成的动力(问题1及其追问)，搭建“支架”是从三个具体问题情境概括出其共同属性，从而抽象出函数的本质所采取的恰当的教学方式(问题2到问题5)，对抽象符号“f:A→B,y=f(x),x∈A,y∈B”的理解应以实际问题为依托，通过坚实的具体实际背景，使学生更好地体会它所包含的具体信息(例1及其变式).通过对这一系列渐次递升问题的思考与探究，学生经历图形语言、文字语言、符号语言等转换过程，体会从具体到抽象、从特殊到一般、从定量到定性的数学研究方法，使教学在突出重点、突破难点的过程中培养学生的直观想象、数学抽象等数学核心素养.

(2)在强化概念的理解和运用的过程中发展学生的核心素养.

上述教学过程设计围绕强化对函数概念的理解与运用，设计了5道试题、2个问题(问题6到问题7)及其6个追问、1道例题以及4个变式.其中通过背景实例充分感知函数定义中的“注意事项”，概念的理解呈螺旋上升是恰当的处理方式(问题5到追问8)，通过总结反思，及时训练，能够强化对概念更深层次的理解(4道实例和问题7).通过对这一系列渐次递升试题、问题及其变式的思考与探究，进一步强化了学生对函数概念的理解，既深化了对函数概念的认识，又提高了学生对函数概念的运用迁移能力，有利于发展学生的数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据处理等数学核心素养.

(3)在渗透数学文化提升课堂品质的过程中提高学生的核心素养.

上述教学过程设计了两次渗透数学文化(追问2和例1变式3之后).在数学教学中适时渗透数学文化，有助于学生深切感受到数学与自然及社会的紧密联系，促使学生从文化层面理解数学及其作用，增强学生学好数学的信心，从而提升学生的数学与人文素养.

总之，上述教学过程设计着力于函数概念的形成，致力于让学生经历由以前的“变量关系说”到现在的“对应关系说”的转换过程，让学生体会从具体到抽象、从特殊到一般、从定量到定性的数学研究方法.使学生在问题情境中、在探究建构中以及在概念运用中培养学生的数学核心素养，这充分体现了培养学生核心素养的教学追求.