从高考命题看统计与概率教学中的能力培养

⦿安徽省阜阳市红旗中学 赵新玉 田 甜

1 引言

概率与统计，是高中数学的核心内容之一，由于其与现实生活有着密切的联系，因而，也是高考的必考内容.从近几年高考数学的命题看，对概率与统计的内容的考查变化中有创新，试题难度从中档题向压轴题转化，进一步体现了学以致用的教育理念.从高考命题角度看，统计与概率教学中应着重培养学生的哪几种能力呢？

2 读图与识图能力

大数据时代，统计图表随处可见.统计学用数据和图表说话，会看图能读懂图表中的有关信息，并用其解决问题是学习统计的最终目的.在高考解答题中，题面中往往会出现统计图表，如频率分布直方图、茎叶图等，要求考生从这些图表中获取解题信息.因此，在教学中，教师应重视统计图表的分析，教会学生如何合理地利用数据进行分析，并作出科学的决策.

例1为调查小白鼠体内甲、乙两种离子的残留情况，进行如下试验：把200只小鼠随机分成A组和B组，每组都是100只，甲离子溶液给A组小鼠服用，乙离子溶液给B组小鼠服用.每只小鼠所服溶液的体积和摩尔浓度全部相同.经过一段时间后，再用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.由试验数据，分别得到如图1的直方图：

甲离子残留百分比直方图 乙离子残留百分比直方图

把事件“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”记为C，由上面的直方图可得到P(C)的估计值是0.70.

(1)试求出乙离子残留百分比直方图中a与b的值；

(2)分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表).

本题难度不大，容易求得答案：(1)a=0.35，b=0.10；(2)甲离子残留百分比的平均值的估计值是4.05，乙离子残留百分比的平均值的估计值为6.00.作为高考题，本题属于中档题，而有些考生却对图表中的数据无从下手，主要表现在对数据和图表直观感觉差，不会运用学过的统计知识来处理问题；没有形成“用数据说话”的统计观念；对统计数据的数字特征理解不到位.因此，在统计与概率的教学中，教师一定要加强学生读图与识图能力的培养.

3 数据的处理与运算能力

统计与概率，就是让数据说话，根据数据作出决策.而数据何来？通过实验得到，通过运算获得.数学运算是数学核心素养之一.统计与概率运算求解能力，主要是指能根据实际问题，设计一条合理简捷而又切实可行的运算路径，能按照实际问题提出的要求处理统计数据，并依据有关公式进行运算.而学生的薄弱点就是对统计数据不知所措，不知道如何找到既合理又简捷的运算方法，不能根据要求对数据进行估计和近似计算.这一点在教学中应该加强.

例2设0

X0a1P131313

则当a在(0，1)内增大时( ).

A.D(X)变大B.D(X)变小

C.D(X)先变大后变小D.D(X)先变小后变大

本题只需研究方差随a变化的增大或减小规律，将方差表示为a的二次函数，利用二次函数的图象和性质就可获解.

故选：D.

故选：D.

对于本题，考生容易出现两个错误：一是因为对数学期望、方差以及二者之间的关系不熟悉而无从着手；二是计算能力差，不能正确得到二次函数表达式.无论是哪个错误都说明运算能力不到位.因此，在统计与概率教学中，大量数据和烦琐的计算正是培养与提高学生运算能力的好时机.加强学生统计与概率的运算能力，是高考的要求，是素养教育的要求，更是学生终身发展的要求，因此，作为教师不可掉以轻心.教学中，应引导学生通过对公式的理解和数据的烦琐运算，培养学生的细心、耐心，进而培养学生数据处理与运算能力.

4 概率模型的识别与应用能力

学习数学的目的在于应用数学解决实际问题，为人类的生活服务.因此，在统计与概率教学中，教师要特别加强概率模型的识别与应用能力的培养.在学生学习过程中，一定要提醒学生弄清题意，善于寻找题目中的关键词语，正确判断题目是哪种概率模型，尤其要提醒学生注意超几何分布与二项分布的区别与联系，这两个概率模型学生经常混淆.其实它们的区别很明显，二项分布是可放回的，各次试验的结果都是独立的，事件发生的概率都一样；超几何分布是不放回的抽样，每做一次试验，事件A发生的概率是不相同的.合理建模，也是培养学生数学核心素养的要求.

(1)“甲同学连续三天上学，其中在7：30之前进班的天数”用随机变量X表示，试求X的分布列和数学期望；

(2)设M是事件“上学三天中，规定学生必须在在7：30之前进班，甲同学守纪的天数比乙同学守纪的天数恰好多2天”，求M发生的概率P(M).

故随机变量X的分布列为：

X0123P1272949827

P(M)=P({X=3，Y=1}∪{X=2，Y=0})

=P(X=3，Y=1)+P(X=2，Y=0)

=P(X=3)P(Y=1)+P(X=2)P(Y=0)

对于本题，虽然难度不大，但考生必须弄明白，此题主要考查离散型随机变量的分布列与数学期望，以及有关概率的计算公式，如互斥事件、独立事件的概率计算.然后选择合理的概率模型，运用二项分布的有关公式和相关的概率知识加以解决.

5 结语

当然，统计与概率作为高中数学最贴近生活的内容，要培养的学生的能力远远不止以上提及的三个，本文中只是从高考命题角度加以分析.其实从数学核心素养的六个方面看，这些内容都能体现.因此，从大处讲，通过统计与概率的教学，不仅仅是培养学生的应试能力，更重要的是让学生通过学习了解社会，科学地认识社会，改造世界，这才是教学的真正落脚点.