考虑退票情形的铁路多列车票额分配优化方法

高一涵，杨婉钰，徐光明

(1.中南大学 交通运输工程学院，湖南 长沙 410075；2.武汉市黄陂区人民政府 天河街道办事处，湖北 武汉 430000)

高速铁路日益成为中长距客运中更被旅客青睐的选择，但我国铁路客流在各时段、各区段差异化较大。因此，合理分配票额是增加铁路企业收益和提高旅客服务水平的重要保障。对于票额分配的研究，CIANCIMINO 等[1]首次将收益管理引入铁路客运中，建立了铁路客运票额分配的线性规划模型。YOU[2]基于随机需求，以收入最大化为目标优化铁路全额和打折票额。MEISSNER 等[3]综述了铁路收益管理相关研究。赵翔等[4]以铁路收益最大化为目标，构建了多列车多停站方案的非线性票额分配模型。刘华森等[5]对遗传算法进行改进，以收益最大化和席位利用率最高化为目标；CHANG 等[6]针对单城际线路，分别以收入最大化以及旅客不舒适程度最小化为目标建立模型。ONGPRASERT[7]考虑旅客购票选择行为，以客座率最大化、拒绝旅客数量最少以及收益最大化为目标。在票额分配评价方面，骆泳吉等[8]研究了随机需求下考虑通售席位的票额分配优化方法。宋文波等[9]构建了高速铁路多列车票额分配随机非线性整数规划模型。李博等[10]引入随机乐观值描述铁路部门风险决策态度，构建不确定需求票额分配随机机会约束规划模型。强丽霞[11]考虑客流波动，将票额预分过程划分为基于给定客流的票额分配及剩余能力优化利用，分别建立优化模型。刘帆洨等[12]以客流需求预测值和最低票额保护值为约束，构建单列车票额预售控制决策模型。刘帆洨等[13]利用购票强度来描述预售期各OD 票额的动态需求，提出了非线性回归支持向量机的预测模型。张琦等[14]应用随机效用理论，建立多列车限售策略和票额预分模型。宋文波等[15]构建了考虑多OD 旅客动态购票需求特点的高速铁路多列车票额分配模型。HU 等[16]构建了联合优化票额票价的非线性规划模型，采用多阶段和歧视性定价策略吸引旅客需求以提高收益。秦进等[17]以各售票时段的票额限制和动态票价为决策变量，以客票总收益最大化为目标构建优化模型，并基于蜂群算法设计高效求解算法。在现有研究基础上，本文基于我国铁路退票政策，考虑因退票引起的虚拟需求，分别以铁路收益最大化、旅客服务人数最大化以及拒绝旅客次数最小化为目标，构建了考虑退票情形的铁路多列车票额分配模型。基于模型分析了2个简单算例和广珠城际铁路实例，深入探讨考虑退票情形对铁路票额分配的影响机理，并验证了模型的有效性。

1 问题分析

我国铁路客运实行较为宽松的退票政策，依照距离开车时间将预售期划分为4个售票阶段，每个阶段实行不同的退票费率。如表1所示，旅客在距离开车时间15 d 以上退票不收取任何费用，但随着开车时间的临近，退票惩罚费率逐渐增加，距开车时间24 h 以下退票则收取20%的退票费率。设置退票惩罚费用主要有2个目的：一方面是尽量减少旅客退票行为，以避免列车上出现虚靡；另一方面通过收取退票惩罚费用增加铁路收益，以弥补铁路因旅客退票而造成的收益损失。

表1 退票惩罚费率Table 1 Refund penalty rate

由于铁路客运具有相对宽松的退改签政策，往往会产生大量的退票订单。对于这些有退票行为的需求，称之为虚拟需求。这些虚拟需求往往会导致前期的票额分配方案不能和真正的需求相匹配，而铁路票额又不能超额发售，这就造成某些区段席位虚糜，而某些区段席位供不应求的现象。因而，在构建票额分配模型时，将旅客退票的因素考虑进来，并以退票率的形式加入到模型中，从而使票额分配模型更加符合铁路售票实际情况。

对于优化目标的设定，大多数研究中都是将铁路收益最大化作为目标，这是铁路部门票额分配的核心目标。然而，在某些情况下，为了提高收益或是客座率，势必会拒绝部分旅客的需求，这对于提高铁路社会效益以及旅客服务水平都是不利的。因此，本文的票额分配模型从不同的角度考虑分别设定了3个目标：铁路收益最大化、旅客服务人数最大化以及拒绝旅客次数最小化；对于约束条件，模型要考虑到的约束主要有列车席位能力的约束、售出票数的票额约束、退票情形下的需求约束等。

2 构建考虑退票情形的票额分配模型

2.1 模型假设

1)各OD对的票价和需求已知；

2)只考虑一种席位等级；

3)不考虑票额超额发售。

2.2 模型建立

2.2.1 模型约束条件

1) 列车席位能力约束定义OD 对(i,j)集合为RS，列车k覆盖区间m的OD 对集合为，列车k在OD 对(i,j)分配的票额为，对于满足(i,j)∈的所有OD 对，其所分配的票额之和应不超过列车席位能力ck，即

每个OD 分配的票额bij为该OD 所有列车分配的票额的总和，表示为

2)售出票数的票额约束所有列车在OD 对(i,j)分配的票额之和，应满足票额上下界约束，即

此约束主要从保障铁路社会效益的角度出发，避免因单方面追求铁路收益最大化而导致某些OD对不能分到票额，以至于相应旅客的出行需求无法满足。此外，OD 对(i,j)售出票数xij不应超过该OD对所分配的票额bij。

3) 退票情形下售出票数的需求约束通过历史数据，可以统计出OD 对(i,j)在预售期内车票售出量Sij，需要注意的是该售出量也统计了售出但被退回的票数。结合我国退票政策，4 个售票阶段表示为n=1,2,3,4。对于OD 对(i,j)，其在售票阶段n的退票率定义为该售票阶段内旅客退票量占该OD 售出量Sij的比例；其在预售期的退票率Θij定义为预售期内旅客退票量Rij占该OD 售出量Sij的比例。分别表示为：

其中：,Rij,Sij可以由历史数据统计得到，根据式(5)和式(6)可以统计出各阶段退票率以及预售期总退票率Θij。OD 对(i,j)售出票数xij不应超过需求dij。但需求中包含将会退票的“虚拟需求”，其所退掉的票在后续会被其他旅客购买。该部分的车票数量可以通过各阶段退票率以及总退票率的差乘以售出票额xij表示，即

所以根据式(7)可以得到被重复购买的车票数量，再加上实际售票数xij得到总售出量，其不应超过该OD对需求dij，即

此外，每个OD 的实际售票数xij以及每列车在各OD分配的票额都应是非负整数，即

2.2.2 模型目标

1) 收益最大化。在收益最大化前提下，铁路部门尽可能售出更多票额以提高收益。在考虑旅客退票的情况下，会产生退票惩罚费用。退票惩罚费用根据距离开车时间长短不同而有显著差异，具体惩罚费率见表1。因此，总收益可分为2部分，第1 部分为实际售出席位所得售票收益，第2 部分为旅客退票产生的惩罚费用收益。由于xij记录的是售出的席位，其中包含了后续退票的订单，所以对于第1部分售票产生的收益，可表示为

其中：tij表示OD(i,j)的票价。由于每阶段惩罚费用与退票率有所差异，因此对于第2部分的退票惩罚收益，可表示为

μn为第n阶段的退票惩罚费率，n=1,2,3,4。其中：μn的取值如表1所示。

综上，以收益最大化为目标的模型可表示为

2) 旅客服务人数最大化。旅客服务人数能最直观地反映出铁路客运的服务能力。在运输能力一定的条件下，服务的旅客越多，说明铁路运能的利用率越高，铁路服务水平和旅客出行满意度也就越高。旅客服务人数最大化下只关心票额是否售出以及售出多少，而与各阶段退票率无关，最终售出的席位数只与总退票率相关。因此，以旅客服务人数最大化为目标的模型可表示为

3) 拒绝次数最小化。当不能满足全部出行需求时，就不得不拒绝一部分旅客的需求，但这样会使得旅客服务水平有所下降，所以要追求尽量少的拒绝次数。不考虑退票行为时，拒绝次数可以表示为

而退票行为使得部分旅客买到了其他旅客退掉的票，最终他们的需求得到了满足，因考虑退票而增加的服务旅客数量可以由式(7)表示出来。因此，以拒绝次数最小化为目标的模型可表示为

上述3个模型都是线性整数规划模型，可以使用CPLEX 和GUROBI 等线性规划求解器得到最优解，本文使用MATLAB 软件中的intlinprog 函数求解。

3 实证分析

为了更好地体现模型特点，首先设计2个简单算例分析模型的性质和特点，之后选取广珠城际铁路数据进行实例分析，进一步验证模型的有效性。

3.1 简单算例验证

3.1.1 简单算例1

如图1 所示，3 趟列车从始发站S1 出发，到达终点站S4，共4站，列车定员ck均为557。

图1 简单算例中的列车停站方案Fig.1 Train stop plan of two simple examples

给定各OD 对各阶段退票率如表2 所示；各OD 对总退票率Θij，票价tij，简单算例1 需求dij如表3所示。票额的上界不超过需求，即uij=dij，票额的下界设定为lij=0.3dij。

表2 各OD对各阶段的退票率Table 2 Refund rate of each OD pair for each stage %

表3 简单算例1和简单算例2的输入参数Table 3 Input parameters for example 1 and example 2

利用MATLAB 计算，以收益最大化为目标，最大收益Z=43 409 元；以旅客服务人数最大化为目标，最大旅客服务人数P=1 918 人；以拒绝次数最小化为目标，最少拒绝次数R=5 次。3 个目标下的票额分配结果如图2所示。

图2 简单算例1的3个目标下票额分配结果Fig.2 Result of ticket allocation for example 1

3.1.2 简单算例2

在简单算例1 的基础上，增加旅客出行需求。简单算例2 需求dij如表3 所示，其他条件与参数均不变。利用MATLAB计算，以收益最大化为目标，最大收益Z=55 640 元；以旅客服务人数最大化为目标，最大旅客服务人数P=2 521 人；以拒绝旅客次数最少为目标，最少拒绝次数R=727 次。3 个目标下的票额分配结果如图3所示。

图3 简单算例2的3个目标下票额分配结果Fig.3 Result of ticket allocation for example 2

分析图2 结果，简单算例1 中3 个目标下的票额分配方案相同。原因在于旅客需求很小，而列车席位能力能够满足所有旅客出行需求，所以不同目标之间的差异就无法得到体现。分析图3结果可以看出，简单算例2中不同目标下的票额分配结果有一定差异性。收益最大化目标受到票价以及总退票率的影响，会将票额更多分给票价较高的OD 对，即(1,4)和(1,3)等票价较高的OD 对分配到的票额较多。而旅客服务人数最大化的目标受限于总退票率，总退票率较低的OD 对会被优先分到票额，OD 对(2,4)的总退票率最低，为5.6%，因此被分配到的票额有所增加。对于拒绝次数最小这一目标，则需要更多满足需求较高的OD 对。简单算例2 中的OD 对如(1,3)需求较高，为690，被分配的票额明显增多。

对比分析简单算例1 和简单算例2 的结果可以得出，当席位能力紧张时，模型在不同目标下的票额分配方案能体现出较强差异性。同时，某些目标之间又存在相同的分配趋势，例如对于旅客服务人数最大化以及拒绝次数最小化的目标，都是将票额优先分配到较短OD 对，最后分配到较长的OD对。

3.2 广珠城际铁路算例验证

广珠城际铁路是珠三角城际轨道交通的主干线路之一，共设22 座车站。其中，主线为广州南站至珠海站，共17 站；支线自北向南由小榄站到新会站，共6 站。列车定员均为557。选取广珠城际铁路2015年7月1日上午6:00至12:00的主线路下行方向的数据，主线线路图和列车运行图如图4所示。主线下行方向共有10 辆列车，依照从广州南站出发时间依次编号为列车1～列车10。由图4可知，顺德学院、南头、珠海北站在上午6:00 至12:00 无经停列车，因此，为简化计算，将这3 站在计算中剔除，将剩余的14 个车站由北向南依次编号1～14。相应OD 对的票价及需求如表4所示。

图4 广珠城际主线线路图和6：00-12:00列车运行图(下行)Fig.4 Line diagram and train running diagram from 6:00 to 12:00(down direction)of Guangzhou Zhuhai Intercity Railway

表4 广珠城际铁路票价(元)/需求(人)Table 4 Ticket price(yuan)/demand(person)of Guangzhou-Zhuhai Intercity Railway

根据历史数据统计得到整条线路的平均总退票率Θij以及各阶段退票率，将其近似地看作是每个OD 的总退票率和阶段退票率。各OD 的总退票率Θij均设置为8.5%，各阶段退票率以及对应的退票惩罚费率如表5所示。

表5 各阶段退票率与惩罚费率Table 5 Refund rate and penalty rate at each stage

为了保证每个OD 对都能被分到一定数量的票额，票额分配的下界lij设定为0.3dij，票额分配的上界uij不超过需求dij。利用MATLAB 中的intlin‐prog 函数对模型进行求解，以收益最大化为目标1，最高收益356 226 元；以服务人数最大化为目标2，旅客最大服务人数7 646 人；以拒绝旅客次数最少为目标3，最少拒绝次数2 275次。3个目标下各OD间的票额分配结果如表6所示。

表6 广珠城际3个目标下的票额分配结果Table 6 Result for Guangzhou-Zhuhai Intercity Railway of three objective functions

分析表6 结果，较长OD 对在收益最大化的目标下更占优势，其中需求最大、距离最长的OD 对(1,14)收益最大化目标下被分配到的票额为3 235，是其他2 个目标下的近2 倍；而在旅客服务人数最大化以及拒绝次数最小化的目标下，票额分配会向较短OD对倾斜，如(1,6)和(6,8)等在这2个目标下分配的票额显著增加。因为这2个目标的基本分配原则都是最大限度地利用列车席位，尽可能多地满足旅客需求。在需求较大时，3 个目标难以同时满足，这表明增加铁路收益和提高旅客服务水平很难兼得。但3 个目标中的某2 个目标可以看作是朝着同一趋势变化的，例如旅客服务人数最大化和拒绝次数最小化目标下都是较长OD 对(1,14)的票额有明显减少，而拆分这些长区段票额来满足更多较短OD 对需求或减少拒绝次数。这表明只追求铁路收益，可能导致部分旅客无法买到车票。因此，在列车席位能力紧张的情况下，铁路企业进行票额分配时应更多考虑旅客服务水平，不能因为过度追求经济效益而降低社会效益。

4 结论

1) 考虑铁路售票时因退票引起的虚拟需求，分别以铁路收益最大化、旅客服务人数最大化以及拒绝旅客次数最小化为目标，构建了考虑退票情形的铁路多列车票额分配模型。

2)设计2个简单算例分析了不同需求下的模型特征。列车席位能力充足时3个目标下票额分配结果相同；而列车席位能力紧张时3个目标下的票额分配方案具有显著差异。

3) 以广珠城际铁路为例进一步验证了模型的有效性。收益最大化下票额会向票价较高的OD 对倾斜，而另2个目标下则会拆分较长区段票额以满足更多需求或减少拒绝次数。铁路企业在进行票额分配时，可以根据自身阶段发展需要选择增加收益或提高旅客服务水平。

4) 本文考虑的旅客需求是确定的，但需求受多方面因素的影响，具有随机性。后续研究可以在已有基础上采用随机分布函数描述旅客需求不确定性，以探讨更加符合需求特征的票额分配方法。