例谈转化思想在解答解三角形问题中的应用

朱昀娟

有关三角形的问题在高中数学中试卷中经常出现，此类问题侧重于考查正余弦定理，勾股定理，三角函数的定义、性质以及三角形、平行四边形、圆的性质.常需灵活运用数形结合思想、转化思想来辅助解题.本文重点谈一谈如何巧妙运用转化思想来解答三角形问题.

一、将问题转化为平面向量问题求解

三角形与平面向量之间关系紧密，由三角形我们能很快联想到平面向量的三角形法则 .在解答三角形问题时，可根據题意给三角形的各条边赋予方向，用向量将其表示出来，这样便将三角形问题转化为平面向量问题，通过向量运算求得问题的答案.

例1.

解：

本题若采用常规方法，运用正余弦定理求解，需建立两个关于三角形的边、角的方程，运算过程较为繁琐.我们给三角形的各条边赋予方向，用向量表示出来，便可运用平面向量中的加法、数乘运算法则以及数量积公式、向量的模的公式快速求得 AD 的长.

二、将问题转化为圆的问题求解

我们知道，正弦定理  =  =  =2R 中的 R 为三角形 ABC 外接圆的半径.因此在解答三角形问题时，可将其转化为圆的问题，利用圆、圆弧、切线的性质来解题.

例2.在ΔABC 中，∠B =  ，AC = ，求ΔABC 面积的最大值.

解：

我们先根据正弦定理求得ΔABC 的外接圆的半径，然后结合图形，在圆周上寻找 AC 边上的高取得最大值的点，这样便能确保ΔABC 的面积最大.

三、将问题转化为平行四边形问题求解

三角形与平行四边形的关系紧密，如与三角形等底等高的平行四边形的面积等于三角形面积的一半.在解答三角形问题时，可将三角形补成平行四边形，这样便可根据平行四边形的性质、相关结论来解题.

例3.在ΔABC 中，点 O 是 BC 的中点， AB =7， AC =6， AO =5，求 BC 的长.

解：

解答本题，主要运用了有关平行四边形的一个重要性质：平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和，以此建立关系式，求得 BC 的长.

可见，在解答三角形问题时，将其转化为向量、圆、平行四边形问题，不仅能有效地提升解题的效率，还能拓宽解题的思路.这就要求同学们在解题的过程中要善于迁移知识，将所学的知识融会贯通起来，巧妙运用转化思想，这样就能从不同角度找到解题的方案.

（作者单位：江苏省大丰高级中学）