如何根据递推关系式求数列的通项公式

耿丽静

在解答数列问题时，我们经常会遇到一些非常规的数列通项公式问题，此时很难直接运用等差、等比数列的通项公式进行求解，需仔细研究数列的递推关系式，选择与之相应的方法求解.数列的递推关系式有很多种不同的形式，由每种形式的递推关系式求数列通项公式的方法各不相同.下面笔者重点谈一谈如何由下列三种类型的递推关系式求得数列的通项公式.

类型一： an -an -1 =f n型

对于形如 an -an -1 =f n的递推关系式，通常采用累加法来求其通项公式.首先令n =1，2，3，…，n，然后将各式累加，通过化简求得an 的表达式.有时需令 n =n +1或n -1，以便在化简的过程中顺利求得an 的表达式，得到数列的通项公式.

例1.已知数列an中，an+1 =an +n，a61= 1999，求该数列的通项公式.

解：

将递推关系式变形可得 an -an -1 =n，该式形如 an -an -1 =f n，可采用累加法求解.由于递推关系式中含有 an+1，所以只需令 n =1，2，3，…，n -1，再将其累加即可.

类型二： an+1 =pan（m）型

對于 an + 1 = pamn （ p ≠ 0，m ∈ N*，m > 1） 型递推关系式，需在递推关系式的左右两边取对数，以便将递推关系式中的积、商、幂转化为和、差、倍，从而将递推关系式构造成等差数列或等比数列的通项公式，最后根据等差、等比数列通项公式求得数列的通项公式.

例2.若数列an的首项为2，an+1 =a ，求数列的通项公式.

解：由题意可知 a1= 2，而 an+1 =a >0，

将 an+1 =a 的两边取对数，得lgan +1 =2lgan ，

因此lgan   = 2，lga1= lg 2，

因此数列lgan是首项为 lg2，公比为2 的等比数列，即lgan=lg 2∙2n -1，

所以数列的通项公式为an = 22n -1 .

通过取对数，便可将递推关系式简化，这样便可构造出首项为lg2，公比为2 的等比数列lgan，根据等比数列的通项公式即可求得数列的通项公式.

类型三： an +1an =can +1 +dan 型

对于形如 an +1an =can +1 +danc、 d ≠0的递推关系式，需采用取倒数的方式来求数列的通项公式.可在 an+1an =can+1 +dan  的两边同时除以 an+1an ，得到 +  =1，令 bn =  ，将递推关系式转化为 bn+1 = mbn +qm ≠0的形式，然后引入待定系数得 bn+1 +A=m（bn +A），从而构造出新数列，再根据等差、等比数列的通项公式或利用累加法求解.

例3.已知数列an中， an+1 =  ，a1=2，求数列的通项公式.

解：

解答本题，需先在递推关系式的左右同时除以 an+1∙an，然后运用待定系数法构造等比数列，以便根据等比数列的通项公式求得数列的通项公式.

由于数列递推关系式的形式各种各样，所以同学们需对各种类型的递推关系式及求通项公式的方法进行归纳，熟练掌握求数列通项公式的方法，以积累解题经验，提升解题的效率.

（作者单位：山东省泰安第二中学）