合理引入待定系数,快速求得数列的通项公式
2022-04-09
由递推式求数列的通项公式问题通常较为复杂.要想顺利求得数列的通项公式,需将递推式进行合理的变形,将问题转化为常规的等差、等比、常数列或易于求解的数列通项公式问题.待定系数法是解答此类问题的有效方法之一.运用待定系数求数列的通项公式,需根据递推式的结构特征引入恰当的待定系数,设出与递推式结构类似的式子,然后将其变形,通过对比系数建立关于待定系数的方程或方程组,求得待定系数的值,便能将递推式转化为等差、等比数列的通项公式,从而构造出等差、等比、常数列,再根据等差、等比数列的通项公式进行求解,即可顺利求得数列的通项公式.
例1.已知数列an中,a1= 1, an+1 =3an +5 ∙2n +4,求数列an的通项公式.
解:
由形如 an +1 =Aan +Bqn +1 + C 的递推式求数列的通项公式,需灵活运用待定系数法.可先根据递推式确定an 的系数 A,然后引入待定系数x、 y,设递推式为 an +1 +x ∙qn +1 +y =Aan +x ∙qn +y,再将该式变形,使系数对应相等,构建关于x、 y 的方程组,通过解方程组求得x、 y 的值,就可构造等比数列,根据等比数列的通项公式求得数列的通项公式.对于本题,我们可引入待定系数α、β,构造出等比数列an +5×2n +2.
例2.已知数列an满足 a1= 8, an+1 =3an +3n+1 +2,求数列an的通项公式.
解:
因此,数列an的通项公式为 an=n +2∙3n - 1.
对于形如 an+1 =Aan +B ∙An +1 + C 的递推式,可运用待定系数法求数列的通项公式.在确定 A 的值后,需引入待定系数 x,设 = +mm为常数,将其整理为与递推式的结构一致的式子,比较其系数即可建立关于x 的方程,求得x 的值,就能构造出新就能顺利求得数列的通项公式.
例3.在数列an中, a1= 8, an+1 =2an +4× 3n+1 +2n +1,求数列an的通项公式.
解:令 an +1 +α ∙3n +1 +βn +1+γ =2(an + α?3n +βn +γ),整理得: an +1 =2an - α∙3n +βn +γ -β,
则α =-4,β= 2,γ= 3,
所以an +1 -4× 3n +1 +2n +1+3 =2(an -4× 3n +2n+3),
则数列an -4×3n +2n +3为首项为1,公比为2 的等比数列,因此,数列an的通项公式为 an =4× 3n + 2n -1 -2n -3 .
运用待定系数法由形如 an +1 =Aan +Bqn +1 + C 的递推式求数列的通项公式,往往需引入系数 x、 y、γ ,并设递推式为 an +1 +x ∙qn +1 +y n +1+γ =Aan +x ∙qn +yn +γ,然后根据递推式建立关于系数 x、 y、γ 的方程组,求得x、 y、γ 的值,构造出等比数列an +x ∙qn +yn +γ,再根据等比数列的通项公式求解.
除了上述三种类型的递推式,对于形如 an +2= Aan+1 +Ban 、an+1 =Aan +B ∙An +1 + Cn +D 的递推式,也可采用待定系数法求数列的通项公式.在引入待定系数时,要先仔细观察递推式的结构特征,设出能构造出常规数列的式子,同时要引入尽量少的待定系数,这样能减少运算量.
(作者单位:甘肃省陇南市成县第一中学)