求解多元变量最值问题的三个路径

孙兰红

多元变量最值问题一般较为复杂，对同学们的运算和综合分析能力的要求较高.很多同学在解题时往往容易受多个变量的干扰，不知该如何下手.下面介绍三个求解多元变量最值问题的路径，以帮助大家提升解答此类问题的效率.

一、利用基本不等式

基本不等式： ≥  a，b>0是解答双变量

最值问题的重要工具.在运用基本不等式求最值时，要首先确保两个变量为正数，然后配凑出两个变量的和或者积，并使其中之一为定值，这样就能运用基本不等式来求最值.值得注意的是，在求得最值后要检验等号成立的条件是否满足题意.在配凑基本不等式时，可通过“拆项”“拼项”“凑系数”等方式来变形目标式.

例1.

解：

解答本题的关键在于通过合理换元，将目标式转化为关于x、 y 的函数式，再根据（x +y）=1，利用“1”的代换来配凑出、两式的和，而该式的积为定值，于是运用基本不等式就能顺利求得最值.

二、消元

消元法往往是解答多元变量最值问题最为直接的方法.当题目中出现两个及两个以上的变量，且各变量之间存在某种关系时，我们就可以根据这些变量之间的关系，用其中一个变量表示出其他变量，这样便可消去一些变量，将问题转化为单变量最值问题，利用函数的单调性、方程的性质来求得最值.

例2.若 c >0，非零实数a，b满足4a2- 2ab +4b2       -c =0，求当2a +b 最大时， -  +  的最小值.

解：

当遇到多元变量问题时，要首先考虑消元法，如果能够通过消元，将多个变量消去，便可将问题转化为常规的单变量最值问题，这样能达到化难为易的目的.

三、采用判别式法

若经过一系列的恒等变换，能将已知关系式或目标式整理为关于某个变量的一元二次方程，就可以利用一元二次方程的根的判别式来求得最值.在建立一元二次方程后，便可根据变量的取值情况和方程来讨论方程的根的分布情况，通常会根据方程有解来建立关系式：△≥0，从而求得最值.

例3.已知 x， y， z ∈Z ，且 x +y +z =3， x3+y3+z3= 3，求 x2+y2+z2的最值.

解：由x +y =3 -z，x3+y3= 3-z3得xy =  ，

则 x， y 为关于 t 的一元二次方程 t2-（3-z）t+=0的整数根，

所以 Δ=（3-z）2-4∙ =（z -1）2（1+ ） 必为完全平方数，

则 z =1，4， -5，当 z =1 时，x =1，y =1;当 z =4时， x =-5，y =4， 或x =4，y =4;当 z =-5时，x =4，y =4 .

综上可得 x2+y2+z2的最大值为57，最小值为3.

已知条件中含有三个变量，而方程的解是不确定的，于是用 z 表示x +y、xy，根據韦达定理构造一元二次方程，由方程有整数根x、 y，根据判别式Δ 为完全平方数建立关系式，从而求得最值.

总之，解答多元变量最值问题，不仅要灵活处理几个变量之间的关系，从中寻找解题的突破口，还需灵活运用不等式的性质、函数的图象和性质、方程思想等来解题.

（作者单位：华东师范大学盐城实验中学）