运用导数法证明不等式的步骤
2022-04-09朱琳
朱琳
不等式证明题侧重于考查同学们的逻辑推理综合分析能力.对于一些含有指数、对数、幂函数的不等式证明题,采用常规的分析法、反证法、数学归纳法等很难使问题获解,而巧用导数法,能快速证明结论.运用导数法证明不等式的主要步骤如下:
1.采用合适的方式,如移项、通分、合并同类项、因式分解、分离参数等将不等式进行适当的变形;
2.根据不等式的结构特征构造函数,可将不等式一边的式子构造成函数,也可将不等式的某一部分构造成函数;
3.对函数求导,分析导函数与0之间的关系,判断出函数的单调性.若 f ′(x)> 0 ,则函数在区间上单调递增;若 f ′(x)< 0 ,则函数在区间上单调递减;
4.根据极值点的定义判断出极大值点、极小值点;
5.在極值点处求得函数的最值,得出证明不等式恒成立的结论.
例1.已知 x ∈æèöø 0, π2 ,求证:4x2 π2 < 1 - cos x < x2 2 .
证明:成立.
解答本题,需通过三次求导来证明结论.首先将右侧的不等式移项,构造出函数 f (x) ,通过分析导函数与0之间的关系,判断出函数的单调性,进而证明右侧的不等式成立.然后再证明左侧的不等式,根据该不等式的结构特征,构造出两个函数 g(x) 、h(x) ,通过二次求导求得 g(x) 的最小值,进而证明 4x2 π2 < 1 - cos x 成立.
例2.证明:当 x > 0 时, x· ln x ≥ -2e-1 .
证明:
我们先将不等式移项,然后构造函数 f (x) ,求得导函数的零点,分析导函数与0之间的关系,从而判断出函数的单调性,由此确定函数的极小值,即在定义域内的最小值,从而证明不等式成立.
运用导数法证明不等式,主要思路是通过构造函数,将不等式证明问题转化为函数最值问题来求解.常见的转化方式有:(1)将 f (x1)> g(x2) 转化为 f (x1)max > g(x2)max ;(2)将f(x)≥a转化为 f (x)min ≥ a ;(3)将 f (x) ≤ a 恒成立转化为 f (x)max ≤ a ;(3)将 f (x)> g(x) 恒成立转化为F(x)= f (x)- g(x) ,F(x)min >0 ;等等.在解题时,需严格按照上述步骤,研究导函数,判断出函数的单调性,求得函数的最值,从而证明结论.
(作者单位:江苏省怀仁中学)