由一道例题谈求椭圆方程的方法

李云龙

求椭圆方程的问题在解析几何中比较常见.此类问题的难度一般不大，侧重于考查椭圆的定义、标准方程以及几何性质，对同学们的运算和直观想象能力的要求较高.本文以一道求椭圆方程题为例，谈一谈求椭圆方程的方法.

题目：已知椭圆 C 的焦点为 F1-1，0，F21，0，过 F2的直线与 C 交于 A 、B 两点，若AF2=2F2B，AB=BF1，求 C 的方程.

题目中告知了椭圆的焦点坐标以及与焦点相关的线段之间的关系，信息比较隐晦.此题看似简单，但涉及到的知识点较多，可以从多个角度出发，来寻找解题的思路.下面重点讨论一下解答本题的两种方法.

一、待定系数法

待定系数法一般适用于求解已知椭圆上点的坐标或a、b 之间的关系的椭圆方程问题.运用待定系数法求椭圆的方程，要先确定椭圆的焦点在x 轴还是在y 轴上，并设出椭圆的方程.若焦点在x 轴上，可设椭圆的方程为 x2+ y2= 1a >b >0;若焦点在y 轴上，可设椭圆的方程为 x2+ y2= 1a >b >0.然后将已知点的坐标或a、b 的关系代入椭圆的方程中，即可求得a、b  的值，得到橢圆的方程.解答此题，可根据AF2=2F2B，AB=BF1，巧妙地设出各条边长，根据椭圆的定义建立各边之间的联系，从而求出 A 点的坐标，借助平面向量的共线定理得到 B 点的坐标，再设出椭圆 C 的标准方程，将 B 点的坐标代入椭圆 C 的标准方程，即可求得a、b 的值，得到椭圆的方程.

解：因为AF2=2F2B ，AB =BF1，设F2B =m，所以AF2=2m，所以AB=BF1=3m .

由椭圆的定义可知AF1+AF2=BF1+BF2=4m，

所以AF1=AF2=2m，即 A 在短轴顶点处，所以 A0，b.

设 Bx1，y1，因为AF2=2F2B ，

所以 A F2= 2F2 B，

所以1，b=2x1- 1，y1=2x1- 2，2y1，

所以，1，解得 ，b2，

所以Bè（æ），- ø（ö）.设椭圆的标准方程为： +  =1，将 B 点代入得到  +  =1，所以 a2= 3，b2=2，

所以椭圆 C 的标准方程为：x2+ y2= 1.

二、利用平面几何知识

椭圆属于平面几何图形.在求椭圆的方程时，我们经常要结合图形来解题，这就要用到平面几何知识，如相似三角形的性质，三角形的性质、与三角形、平行四边形相关的定理、公理等.

解：因为AF2=2F2B ，设F2B =m，则AF2=2m，

所以AB =BF1=3m，

由椭圆的定义可知：AF1+AF2=BF1+BF2=4m =2a，

所以AF1=AF2=2m =a，即 A 在短轴顶点处， A0，b，

过点 B 作 BM⊥ x 轴交 x 轴于点 M .

因此BM =F2B =F2M =F2M =BM =2，所以F2B = ，F1B = a，F2M = ，BM =  .

在ΔF1BM 中， a2=  b2+ ，所以9a2=b2+ 25，所以 a2= 3，b2= 2，

所以椭圆 C 的标准方程为：x2+ y2= 1.

我们利用椭圆的定义得到点 A 的坐标，再利用相似三角形的性质，两点间的距离公式得到 MF2、BM 的长度的表达式，在ΔF1BM 中，根据三角形的三边之间的关系、直角三角形的性质、勾股定理求得a、b 的值，从而求得椭圆C 的方程.

通过上述分析可知，在求椭圆的方程时，一定要熟练掌握椭圆的定义、几何性质、标准方程，这样才能快速建立关系式，求得点的坐标、画出几何图形，以便运用待定系数法、平面几何知识求得椭圆的方程.

（作者单位：江苏省高邮中学）