“多法并用”，解答平面向量最值问题

罗雪峰

最值问题在平面向量中比较常见，这类问题的综合性一般较强，且难度系数较大，对同学们的运算能力和综合分析能力的要求较高.笔者从不同角度对一道平面向量最值问题的解法进行了探讨，下面谈一谈个人的一些见解.

题目：设e1，  e2为单位向量，其夹角为 60°.若

方法一：利用函数的性质

在求解平面向量最值问题时，我们经常要用到函数的性质.需首先根据题意，运用平面向量知识，如模的公式、数量积公式、数乘运算等求得目标式，再根据目标式的结构特征构造合适的函数模型，运用函数的单调性、最值等来解题.

解法一：因为 =x e1+y e2，

我们先运用平面向量的模的公式求得的模的平方，再将其看作函数式，把问题转化为二次函数最值问题，通过配方将二次函数式化为顶点式，根据二次函数的性质求得 t 的最值.

解法二：以点 O 为坐标原点，以e2的方向为 x 轴的正方向，建立平面直角坐标系，则

通过建立直角坐标系，运用平面向量的坐标运算法则求得 t 的表达式后，将其看作二次函数式，就能利用二次函数的性质求得最值.

方法二：利用三角函数的性质

在求解平面向量最值问题时，也可根据题意引入有关角度的参数，或通过三角代换，将问题转化三角函数最值问题，利用三角函数的有界性、单调性、最值来解题.

解：设单位向量e3 与向量e2垂直， e1与 e3之间所成的夹角为θ，

我们构造出与向量 e2垂直的单位向量 e3，引入参数θ，运用平面向量的数乘运算法则和数量积公式求得，再将目标式转化为三角函数式，就能利用余弦函数的有界性求得最值.

方法三：数形结合

在解答平面向量最值问题时，可根据三角形法则、平行四边形法则画出相应的几何图形，这样便将问题转化为几何图形问题，利用几何图形的性质、位置關系以及相关的定理、公式来求解.

解：如图所示，

我们根据 =x e1+y e2以及平行四边形法则构造平行四边形 ABCO，在△OAC 中根据正弦定理求得t 的表达式，再根据图形确定∠OCA 的取值范围以及最值，进而求得目标式的最值.

由此可见，解答平面向量最值问题的方法有很多种.在解题时，我们需展开联想，将函数、三角函数、平面几何知识进行迁移，灵活运用函数的性质、三角函数的性质、正弦定理建立关系式，求得最值.

（作者单位：江苏省大丰高级中学）