怎样证明数列不等式

严抒

数列不等式的综合性较强，不仅考查了数列知识，还考查了不等式知识.此类问题的难度一般较大，在解题时不仅需熟练运用数列知识、不等式知识，还需灵活运用函数思想、转化思想、分类讨论思想等.下面主要谈一谈证明数列不等式的两种常用方法.

一、作差法

作差法是比较两数大小的常用方法，在证明不等式时，我们可将不等式左右两边的式子作差，再将所得结果与0进行比较.一般地，若a -b >0，则a >b;若a -b <0，则 a <b .可通過因式分解、配方、构造函数、利用基本不等式等方式化简、变形差式，以便快速比较出差式与0之间的大小关系.

例1.在数列{xn}中，x1=a >0，xn+1= xn +   .求证：当xn ≥  时，xn ≥xn+1 .

证明：由xn+1= xn +  可得xn+1 -xn =  - xn，

令 f（x）=xn+1 -xn，

则f（x）= - xn，在xn ≥  时，该函数单调递减，所以xn+1 -xn ≤f（ ）= -   =0.

综上，当xn ≥  时，xn ≥xn+1成立.

解答本题主要采用作差法，我们将不等式左右两边的式子作差，构造出函数 f（x），通过分析函数 f（x）的单调性，判断出与0之间的大小关系，从而证明不等式.

二、放缩法

放缩法是证明不等式的常用手段.在求解数列不等式问题时，首先要仔细观察数列的通项公式，研究数列的和式，运用数列的定义、通项公式、前 n 项和公式以及不等式的传递性、可加性等，进行合理的放缩，由已知条件向目标式靠拢，从而证明不等式.可通过添加某些项、去掉某些项、配凑系数、扩大分子、缩小分母等方式

来放缩不等式.常见的放缩形式有>（b >a >0， m >0）、 = 、<<等.

例2.

证明：（1）略;

（2）

在求得 bn以及 Tn后，用到了一个常见的根式放再结合不等号的方向，采用裂项相消的方式进行求和，就能证明不等式.在放缩的过程中，要把握放缩的“度”，不可“放”得过大，也不可“缩”得过小.

数列不等式问题对同学们的综合能力要求较高，大家不仅要扎实掌握数列和不等式知识，还要学会灵活运用作差法、放缩法来解题.

（作者单位：江苏省盐城市新洋高级中学）