巧构辅助数列，妙求通项公式

羊欢

由递推公式求数列的通项公式问题，通常需要将递推公式进行一系列的恒等变换，构造出辅助数列，将问题转化为常规的等差、等比数列问题，利用等差、等比数列的通项公式、前n 项和公式、性质来求解.下面，笔者介绍三种构造辅助数列的方法.

一、引入待定系数

对于形如 an+1 =Aan +B（其中A、B 为常数）递推公式，在求数列的通项公式时，可引入待定系数λ，将递推公式变形为 an +1 +λ =Aan +λ，通过对比 an+1、an  的系数，便可求得λ 的值，构造出等比数列an +λ，然后根据等比数列的通项公式求出an 的通项公式.

例1 .在數列an中，a1= 1，且 an +1 =3an +（）n ，求数列an的通项公式.

解：由an +1 +λ（）n +1 =3 an +λ（）û（nù）得3λ- λ =1，解得λ =  ，

所以 an+1 +  ×（）n +1 =3 an +  ×（）û（nù），

故an +  ×（）n是以 a1+  ×  =  为首项、3

为公比的等比数列，

所以 an +  ×（）n =  ×3n -1 =  ×3n+1，

即 an =  ×3n+1 -  ×（）n .

该递推式形如 an+1 =Aan +B ，于是引入待定系数，通过对比系数求出λ的值，从而构造出等比数列

二、取倒数

由形如 an = kan -1 +b（an -1 -an =pan -1an ）的递推公式求数列的通项公式，可采用取倒数法.通过变形将递推式化为 -  =p 的形式，根据等差数列的定义可知数列为等差数列，于是根据等比数列的通项公式求得的表达式，得到数列an的通项公式.

例2 .已知数列an中，a1= 1，且 an =  ，欢求数列的通项公式.

解：根据等差数列的定义可知是一个等差数列，其首项是 a1= 1、公差为2，

所以  =1 +（n -1）× 2= 2n -1，即 an =  .

在递推公式的两边取倒数，即可构造出首项为1、公差为2 的等差数列，这样便将问题转化为常规等差数列的通项公式问题来求解，能达到化难为易的效果.

三、取对数

对于形如 an +1 =panm（p 、m为非零常数）的递推公式，在求数列的通项公式时，可在递推公式的两边同时取对数，这样便能通过对数运算，将积、商、幂的形式转化成和、差的形式，从而构造出新等差或等比数列，再利用等差或等比数列的通项公式进行求解.

例3 .设正项数列an的首项 a1= 1，且 an =2a - 1，求数列an的通项公式.

解：在 an =2a - 1的两边取对数可得 log2an =1 +2log2an -1，

即 log2an +1 =2（ log2an -1 +1），

设bn =log2an +1，即 bn =2bn -1，

所以bn是以2 为公比的等比数列，

而b1=log21+ 1= 1，所以 bn =1 ×2n -1 =2n -1，所以 log2an +1 =2n -1，即 log2an =2n -1 -1 ，所以 an =22n -1 -1 .

通过观察可发现，该递推公式形如an+1 =panm，于是采用取倒数法，将递推公式化简，构造出等比数列.取对数法的适用范围较窄，通常适用于求解由含有指数幂的递推公式求数列的通项公式问题.

数列中的递推公式多种多样，在求数列的通项公式时，同学们要学会探究数列的递推公式，将其进行适当的变形，如引入待定系数、取倒数、取对数等，构造出辅助数列，这样便能将问题简化，快速地求出数列的通项公式.

（作者单位：江苏省盐城市大冈中学）