双曲线标准方程的常见求法

辜家吉

双曲线是圆锥曲线中的一种特殊曲线.一般地，双曲线的标准方程有两种：（1）若实轴或焦点在x 轴要求得双曲线的标准方程，需明确实轴或焦点的位置，以及a、b、c 的取值.下面主要介绍两种求双曲线标准方程的常用方法.

一、定义法

利用定义法求双曲线的标准方程，首先要找出两个定点（即焦点）的位置或者坐标，然后根据已知条件判断是否有一动点到这两个定点的距离的差为常数，且动点到两定点的距离的差值小于两定点间的距离，则可根据双曲线的定义断定该动点的轨迹为双曲线，从而确定 c和a 的值，再由 b2=c2-a2求出 b2，进而求

出雙曲线的标准方程.

例1.已知两定点的坐标分别为 F1-5，0，F25，0，动点 P 到定点 F1，F2的距离的差的绝对值为6，求 P  点的轨迹方程.

分析：由题意可知动点 P 到定点 F1，F2距离的差的绝对值为常数，即PF1-PF2=2a =6，且动点P 到两定点 F1，F2距离的差值小于两定点间的距离，则 P 点的轨迹为双曲线，根据双曲线的定义可分别求得a 、b 的值，从而求得双曲线的标准方程.

解：由题意F1F2=10> 6，PF1-PF2=6，由双曲线的定义可知，P 点的轨迹是一条双曲线.因为双曲线两焦点的坐标在 x 轴上，所以可设其标准方程为：x2- y2= 1a >0，b >0，因为 F1-5，0，F25，0，所以 c =5 ，又因为PF1-PF2=2a =6 <2c =10，所以 a =3，则 b2=c2-a2= 16，所以双曲线的标准方程为：x2- y2= 1.

二、待定系数法

利用待定系数法求双曲线的标准方程，先要明确双曲线的焦点在x 轴还是y 轴上，然后设出双曲线的标准方程，根据题意建立方程组求得a，b 的值，进而求出双曲线的标准方程.如果双曲线焦点的位置不易确定，也可以设双曲线方程为 -  =1（m、n ≠0）进行求解.若 a =b ，可设双曲线的方程为：x2-y2= λλ≠0;若已知双曲线的渐近线方程为± =0，可设双曲线的方程为：x2- y2= λλ≠0.

例2.双曲线经过点 P2， ，且它的一条渐近线方程为y =x ，求该双曲线的标准方程.

分析：由双曲线的渐近线方程： y =± x 可知，a =b，所以可设双曲线方程为 x2-y2= λλ≠0，将已知点的坐标代入，建立关于λ 的方程，便可解题.

解：由双曲线的一条渐近线方程为y =x，可设双曲线的方程为 x2-y2= λλ≠0，

又因为双曲线经过点 P2， ，可得：λ =2，

则双曲线的方程为：x2-y2=2，

所以其标准方程为 x2- y2= 1.

例3.求经过点 P4  ，3和Q4  ，6两点，中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线的标准方程.

分析：根据已知条件可设双曲线的方程为 mx2-ny2= 1mn >0，再将两个点的坐标代入方程中，建立关于 m、n 的方程，通过解方程求得 m、n 的值，即可求得双曲线的方程.

解：由题意可设双曲线的方程为：

mx2-ny2= 1mn>0，

因为 P4  ，3和Q4  ，6在曲线上，所以  m（m）  n（n）

解得

所以双曲线的标准方程为 y2- x2= 1.

双曲线的标准方程与其定义、几何性质以及a、b、 c 之间的关系联系紧密，因此在求双曲线的方程时，要灵活运用双曲线的定义、几何性质以及a、b、c 之间的关系.

（作者单位：江西省横峰中学）