由一道双变量最值问题引发的思考

於子涵

双变量最值问题经常出现在函数、不等式、解析几何等问题中，此类问题一般给出的条件较少，且较为简单，要求得目标式的最值，需从目标式入手，对其进行合理的变形、转化，才能顺利求得最值.笔者对一道双变量最值问题的解法进行了探究，归纳了三种解答双变量最值问题的思路，以供参考.

例题：已知x，y ≥0，x +y =1，求 x2+y2的最值.

仔细分析题意可知，已知条件只是限定了x、 y 的取值范围，要求得x2+y2的最值，我们需从x +y =1和目标式入手，可通过消元、三角换元、构造几何图形等方法，将问题转化为二次函数、三角函数、平面几何问题来求解.

方法一：利用函数的性质

对于二元最值问题，通常可通过消元将问题转化为单变量最值问题.通过构造二次函数，利用二次函数的图象和性质来求得最值.对于本题，我们可根据 x +y =1将 y 消去，把目标式转化为关于 x 的二次函数式，利用二次函数的单调性和有界性来求最值.

解：由 x +y =1得 y =1 -x ，

则 x2+y2=x2+1-x2= 2è（æ）x - ø（ö）2+  ，

当 x∈0，  û（ù）时，函数单调递减，当 x∈ ë（é），1 时，

函数单调递增，

因此函数在x = 时取得最小值，在x =0或x =1时取得最大值，

所以当x = 时，x2+y2的最小值为;

当 x =0或 x =1时，x2+y2的最大值为1.

方法二：数形结合

代数式的背后一般都蕴含着几何意义.在求解双变量最值问题时，我们可深入挖掘代数式的几何意义，绘制相应的几何图形，通过分析几何图形中点、直线、曲线的位置关系以及几何图形的性质，找到使目标式成立的临界情形，即可求得最值.

解：

通过构造几何图形，便将问题转化为解析几何问题，分析点之间的位置关系，运用两点间的距离公式和点到直线的距离公式即可求得目标式的最值.

方法三：三角换元

三角换元法是解答双变量最值问题的重要手段.在解题时，通常要根据重要的三角函数关系式sin2θ+ cos2θ= 1，将双变量 x、 y 用同角的正余弦函数表示出来，这样便将问题转化为三角函数最值问题，通过三角恒等变换将目标式化简为只含有一个函数名称的最简形式，就能利用三角函数的有界性来求得最值.

解：

我们根据已知条件设 x = cos2θ、y = sin2θ，通過三角换元将目标式转化为三角函数式，利用余弦函数的有界性求得最值.在三角换元的过程中，要注意根据已知条件对参数θ的取值范围进行限制.

可见，解答双变量最值问题的方法有很多种.在解题时，我们需积极展开联想，善于迁移知识，灵活运用函数、三角函数、解析几何知识来解题，这样便能快速求得最值.

（作者单位：江苏省大丰高级中学）