谈谈解答排列组合问题的思路

孟祖国

解答排列组合问题的主要“工具”是分类计数原理和分步计数原理.在解答排列组合问题时，同学们需先明确完成一件事件需“分类”处理，还是要“分步”进行，然后灵活运用这两个计数原理来解题.下面重点介绍三种解答排列组合问题的思路，以供大家参考.

一、特殊元素优先处理

有些问题中会涉及一些特殊元素，并对其有特殊要求，此时我们需将这些特殊元素或者特殊位置优先进行处理.在解题时，首先要根据题目的要求，将特殊的元素或位置找出，并将其进行排列，然后再将其他没有要求的元素进行排序，最后运用分类计数原理或分步计数原理求出总的排列数.

例1.5 只品种不同的小猫在排队洗澡，要求金渐层小猫不排在第三，银渐层小猫不排在第一和最后，则有多少种不同的排队方式？

分析：根据题意可知，金渐层小猫和银渐层小猫是特殊元素，所以需先排这两只小猫的顺序.

解：若金渐层小猫排在第一或最后，有 A 种排法;银渐层小猫就只能排在中间的3 个位置，有 A 种排法;剩下的3只不同品种的猫任意排列，有 A 种排法，由分步计数原理可得一共有 A AA种排队方式;

若金渐层小猫排在第二或者第四，有 A 种排法，则银渐层小猫有 A 种排法;剩下的3只不同品种的猫可以任意排列，有 A 种排列方法;由分步计数原理可得一共有 A AA种排队方式;

由分类计数原理可得满足题目要求的排队方式一共有： A AA +A AA = 60种.

例2.3名女生和5名男生排成一排，如果女生不站两端，有多少种排法？

解法一：因为两端不排女生，只能从5个男生中选2人排列，有A 种排法，剩余的位置没有特殊要求，有 A 种排法，因此一共有A ·A =14400种不同排法.

解法二：从中间6个位置选3个安排女生，有A 种排法，其余的位置无限制，有A 种排法，因此一共有 A ·A =14400种不同排法.

题目中的特殊元素为女生，其特殊位置为两端，因此可将“女生”看作特殊元素，将两端安排男生，那么就能确保女生不在两端;也可将“两端的位置”看作特殊元素，先把女生排中间的6个位置，这样女生就不会排在两端了.

二、相邻元素需捆绑在一起

有些题目中要求几个元素相邻排列，此时需将这几个元素捆绑起来看作一个大元素来处理.再分别讨论大元素的内部元素之间的排列顺序以及外部元素之间的排列顺序，最后灵活运用分类计数原理和分步计数原理求出最终的排列数.

例3.5 只品種不同的小猫在排队洗澡，小兰要求金渐层小猫和银渐层小猫的洗澡顺序是相邻的，则有多少种不同的排法？

分析：金渐层小猫和银渐层小猫的洗澡顺序是相邻的，因此需将金渐层小猫和银渐层小猫捆绑起来当作一个大元素来排序.

解：将金渐层小猫和银渐层小猫捆绑起来，其排列顺序有 A 种;将其看作一个大元素，与其他3只小猫进行排列，有 A 种排法，由分步计数原理可得一共 A A =48种排法.

三、不相邻元素需作插空处理

有些题目中要求几个元素不相邻，需作插空处理.首先要找出不要求相邻的元素，将它们进行排列，并得出它们之间的空隙数（注意题目中是否需要考虑两端的位置），然后将要求不相邻的元素排在没有要求的元素之间的空隙中，最后根据分类计数原理和分步计数原理求解.

例4.5 只品种不同的小猫在排队洗澡，金渐层、银渐层和布偶猫不相邻，则有多少种不同的排法？

分析：根据题意可知，不相邻元素就是金渐层、银渐层、布偶猫，因此可用插空法进行分析.

解：先排列除了金渐层、银渐层、布偶猫以外的2只小猫，有 A 种排法;此时它们之间有3个空位，将金渐层，银渐层和布偶猫安排在这3个空位上，有 A 种排法;则由分步计数原理可得一共有： A A = 12种不同的排法.

解答排列组合问题，需重点分析元素的位置，如元素的位置是否特殊、元素是否要求相邻、不相邻，然后选择与之相应的方法，再灵活运用分类计数原理和分步计数原理进行求解.

（作者单位：湖北省十堰市郧阳中学）