求非特殊角的三角函数值的几个小措施

王喜芝

求非特殊角的三角函数值问题是一类常见的给角求值问题，解题的主要思路是对某些角进行合理的分拆、配凑，灵活运用三角函数的基本公式以及特殊角的三角函数值，达到化简、求值的目的.下面从几个典型例题入手，探讨一下求非特殊角的三角函数值的几个小措施.

一、活用公式

在求非特殊角的三角函数值时，可通过分析所给的条件式和目标式，建立二者之间的联系，选择与之相应的公式进行求解.在求解时，可直接套用公式，也可逆用公式，还可将公式进行适当的变形，然后再化简、求值.

例1.

解析：通過观察可发现，所求式是一个多项式的连乘积，且每一项中含有常数1和一个三角函数，三角函数式中的角度呈现一定的规律：（1）呈递增趋势;

（2）由此可联想到公式

解：

二、拆角、补角

在化简非特殊角的三角函数式时，可将已知角或所求的角进行拆分、补凑，便能建立已知角与特殊角之间的联系，然后运用和差公式进行运算，这样有利于化简、消元，使问题获解.

例2.求的值.

解析：观察题目中所给的角10o、20o，可分析二者为倍数关系，但是用二倍角公式来分角，很难达到解题的目的，需抓住特殊角和已知角的关系进行拆角，即 10°= 30°- 20°.

解：

利用30°、45°、60°、90°等特殊角的三角函数值求值是求非特殊角的三角函数值的关键.因此在解题时，要先将非特殊角与已知角、所求角建立联系，合理进行拆角、补角.

三、弦切互化

对于正弦、余弦、正切混合的非特殊角函数式，可采用弦切互化的技巧来将正切转化为正弦和余弦，或将正弦和余弦转化为正切，这样对化简、求值很有帮助.常用的公式有 tanα= 、sin2α+cos2α=1.

例3.求 tan 20°+4 sin 20°的值.

解析：虽然题目中只有一个角，但可通过弦切互化来将正切转化为正弦和余弦，以便转变目标式的结构，这是解题的关键.

解：

解答此题，同时运用了“切化弦”和“拆角”的方法，双管齐下，从而获得比较简洁的求解方案.

四、代数变形

在化简非特殊角的三角函数式时，往往需运用到一些代数变形的技巧，如配方、平方、开方、约分、通分等.这样能将函数式化简，为求值创造条件.

例4.

我们先根据完全平方公式将根号下的式子配方为完全平方式，然后开方，这样便将根号去掉.再运用平方差公式将分子分解因式，通过约分将其化简，最后运用辅助角公式构造出35°角的余弦值，通过约分求得问题的答案.

五、构造对偶式

对于一些平方和式，可通过构造一个与已给式相匹配的对偶式来进行化简.构造对偶式，可巧妙回避复杂的三角运算，但需注意所构造的式子不能影响题目的结果.

例5.求 sin220°+ cos250°+ sin 20° cos 50°的值.

解析：已知式中含有两个函数式的平方，可考虑找对偶式来帮助求解.

解：

将①②两式相加可得2A =2 ，即原式= 4.

寻找对偶式的目的是简化运算，顺利完成解题.如果不能达到此目的，则寻找的对偶式毫无意义.

总之，求非特殊角的三角函数值，关键是根据题目的特点，选择合适的三角函数公式、方法对函数式进行化简，再利用特殊角的三角函数值来帮助解题.当然对于一些含有特殊结构的非特殊角的求值问题，也有一些相应的化简、求值的措施，这里就不一一介绍了.

（作者单位：甘肃省兰州市第六十一中学）