例析三类抽象函数问题的解法

华锦梅

抽象函数没有具体的解析式，因而抽象函数问题难度较大，很多同学在解题时经常不知该如何下手.下面结合实例来谈一谈三类常见的抽象函数问题的解法.

一、求抽象函数的定义域

对于抽象函数定义域问题，我们通常采用换元法来求解.在解题时，需根据函数 f（x）中括号内的式子具有等价性来进行换元，将括号内的式子用一个新的变量来代替，根据函数的定义域建立关系式，便可求得新变量的取值范围，进而求得所求函数的定义域.

例1.已知函数 y =f（3x -1）的定义域为[-1，3]，那么函数 y =f（x +1）的定义域为（）.

A.[-1，3]  B.[-2，2]   C.[-5，7]   D.[-3，9]

解：因为 y =f（3x -1）的定义域为[-1，3]，所以-1≤ x ≤3，

那么-3≤3x ≤9，即-4≤3x -1≤8，

令 t =3x -1，所以 f（t）的定义域为[-4，8]，再令 t =x +1，則-4≤x +1≤8，

解得-5≤ x ≤7，

因此函数 y =f（x +1）的定义域[-5，7]，本题的正确选项为C.

在求 f（g（x））的定义域时，同学们需明确 f（g（x））中的 g（x）与 f（x）中的 x 是等价的，若 f（x）的定义域为[a，b]，则 g（x）的值域为[a，b].

二、求抽象函数的值域

求抽象函数的值域问题综合性较强.在解题时，需首先明确函数的定义域、单调性、周期性、对称性等，然后在一个周期的单调区间内讨论函数的最大值、最小值，从而求得函数的值域.对于复合函数，需遵循“同增异减”的原则来求解.

例2.若函数 y =f（x）的值域为[0，3），且函数在R 上为增函数，则函数 y = 的值域为（）.

A.[1， ]  B.[1， ）   C.[1， ]   D.[1， ）

解：令t =f（x），则 t ∈[0，3），

则 y = =  ，t ∈[0，3），

由 y = 可知函数在[0，1）上单调递减，在（1，3）上单调递增，

而函数 y =f（x）在 R 上为增函数，

所以原函数在[0，1）上单调递减，在（1，3）上单调递增，

所以当 t =1时，y = 取最小值1，又因为当 t =3时，y = ，

因此函数 y = 的值域为[1， ） .

该函数式较为复杂，我们需令 t =f（x），通过换元，将函数式拆分为两个简单函数，再分别在两个单调区间上讨论函数的单调性，便可顺利求得函数的最值.

三、判断抽象函数的单调性

由于抽象函数没有具体的解析式，因此在判断抽象函数的单调性时，我们需根据函数单调性的定义，设x1<x2，讨论 f（x1）-f（x2）与0之间的大小，或者 f（x2）与1之间的大小，从而判断出函数 f（x）的单调性.对于复合函数，需遵循“同增异减”的原则来求解.

例3.已知函数 f（x）为 R 上恒大于0.当 x >0时， f（x）>1，对于任意x，y∈ R 均有 f（x +y）=f（x）·f（x）成立，且 f（1）=2，证明：函数 f（x）是增函数.

解：令 x1，x2∈ R ，且 x1<x2，

因此 x2-x1>0，所以 f（x2-x1）>1，

所以 f（x1）=   f（x1）  =   f（x1）  =f（x2-x1）>1，

因为函数 f（x）为 R 上恒大于0，

所以 f（x2）>f（x1），所以函数 f（x）是增函数.

我们根据函数单调性的定义，设 x1<x2，讨论f（x1）与 1之间的大小关系，从而判定函数的单调性.

虽然抽象函数问题的难度较大，但我们只要明确函数的单调性、周期性、对称性，从这些性质中确定函数的特征、图象，便能顺利求得函数的定义域、值域，判断出函数的单调性.

（作者单位：江苏省如皋市搬经中学）