复习：在联与通中洞察“一致性”

刘晓萍

摘要：三位老师执教的《小数四则运算（复习）》一课，虽然导入不同、教学结构不同、计算的样例不同、课堂生成的处理方式不同，但都呈现了让学生在联系中感受数学的发展，在融通算法与算理中参悟数学的思维，在追溯知识的脉络中洞见数学未来的样态。这三节课的教学引发了关于“数的运算”教学的进一步思考，即一致性依赖单元内容的整合，结构化基于多维联系的视野，真理解源于思想方法的通透。

关键词：小数四则运算;同课异构;一致性;结构化;真理解

本文系江苏省苏州市教育科学“十四五”规划课题“核心内容视角下小学数学育人价值及其实现研究”（编号：2021/LX/02/272/11）的阶段性研究成果。在2021年“苏州市初教课改展示活动（数学专场）”中，特级教师徐斌开设了《小数四则运算（复习）》一课，并与两位青年骨干教师同课异构。从观察者的角度看三节课：导入不同、教学结构不同、计算的样例不同、课堂生成的处理方式不同。换位学习者的视角，三节课都呈现了让学生在联系中感受数学的发展，在融通算法与算理中参悟数学的思维，在追溯知识的脉络中洞见数学未来的样态。

其实，运算的学习，始终伴随着学生的数学学习，其重要性不言而喻，尤其运算中蕴含着丰富的数学思想，如序、守恒、对应、算法等，都可以体现数学的本质。鲍建生，周超.数学学习的心理基础与过程[M].上海：上海教育出版社，2009：236。可对于五年级上学期的学生来说，经历了苏教版小学数学教材若干知识点的学习，以及单元整理与练习之后，小数四则运算技能已初步形成。那么，临近期末再次复习是否还有必要？其育人价值何在？又该如何实现其育人价值呢？带着这些疑惑，先简要回顾三节课的精彩片段，再尝试剖析其带给我们的教学启示。

一、评析三节课的“不同”与“同”

（一）复习，可不同源，却要同流

对于运算教学，在期末复习阶段，我们应该跳出纯粹的运算训练和技能掌握，关注学生的运算思维发展和数学素养形成，从而促进学生对数学本质的理解。

吴敏老师在教学伊始，带着学生回看教材目录，重温本学期学过的几个计算单元：小数加法和减法、小数乘法和除法，顺势出示部分课题：四则运算—整数—小数。

施惠芳老师则以回顾各个年级的运算学习发端教学，并和学生谈话：对这样的安排，你有什么想法？整数学了四年，小数却只要学一学期，你又有什么想法？学生在师生交流与分享中洞察：教材知识循序渐进，学习过程从简单到复杂，运算间有联系。

徐斌老师以“本学期我们接触到的最多的知识是什么？”的提问导入课堂。学生回答“小数”。徐老师追问：“关于小数，本学期学习了哪些知识？”学生回答“加、减、乘、除，小数的性质，近似数，小数的意义”。

随着不同的导入，课堂呈现了不同的思维样态，然而，教学意图竟流向一致，学与教共同关注了小数与整数的关联、算法与运算意义的关联、当下的思考与过往学习经验的关联。比如，三位老师都抛出了相似的問题：为什么积的小数位数是乘数小数位数之和？为什么小数乘法竖式是末尾对齐？小数加、减法数位对齐的目的是什么？而且，为了帮助学生明晰这些问题，都以数形结合的方式求得直观化理解。

（二）复习，可不同法，却要同理

复习，不是把各相关知识点简单链接，更不是基于内容的简单叠加，而要站在学的角度，依据知识间的内在规律和联系，对教学内容进行有效拆分、合并与重组，在比较中洞见本质，在梳理中连线织网。

吴敏老师创设了购买各种点心的情境，分别需要用加、减、乘、除运算解决系列问题。学生于其中懂得了小数四则运算的意义和整数四则运算是同一回事。随后，通过计数器图示动画，直观呈现了小数加、减法和整数加、减法都是拿掉或拨上相同数位上的珠子，都要做到相同计数单位的数相加、减。接着，继续用直观的方式，让学生明白小数乘法转化成整数乘法计算，结果的表达方式虽有不同，但实质还是数若干个计数单位。

施惠芳老师用联系的观点，首先梳理加法源于“部分+部分=整体”，减法是加法的逆运算，乘法是多个相同部分连加的简便计算，除法既是乘法的逆运算，也可看作连减，从而让学生强烈感受到加法是最基本的运算，派生了其他三种运算;其次比较整数四则运算笔算与小数四则运算笔算的异同，从而让学生发现不论是哪种形态的计算，其道理、方法都指向计算单位的累加或递减与均分。

在徐斌老师的课堂中，学生分四个阶段感受、领悟“不管是做加、减法时小数点对齐，还是做乘、除法时转化成整数，都和计数单位有关系”。第一阶段，追溯小数产生的源头，即不够分了，整数扩张到了分数、小数，小数是十进分数。第二阶段，涂色表示0.1、0.01、0.001后，以简单口算题组练习（0.1+0.1，0.1+0.01，0.1-0.01，1-0.01，0.1×2， 0.1×0.2，0.1÷2，0.1÷0.2），配合课件展示计算即数计数单位，初步沟通三类计算与计数单位的关联。第三阶段，在笔算中深入理解，不管加减还是乘除，也不管要求小数点对齐，还是将乘数、除数视作或化作整数，本质都是计数。第四步，拓展练习，在规律探索与实际应用中，灵活算、解释算。

尽管三位老师选取了不同的素材、不同的教学手段，呈现了学生习得知识形式的不同、具体计算程序的不同，但通过运算意义的联系、计算原理的联系，通过将四则运算融通为“加”，通过将各种算法融通为处理计数单位，学生不但生发了精彩的观念，而且基于过往的思维经验，不断抵达未来，洞察未知：分数如何四则运算。其实，无理数、虚数的运算，何尝不是如此。

二、几点教学启示

本次同课异构活动，是新一轮修订版义务教育数学课程标准（以下简称“修订版课标”）颁布之前的一次关于小数四则运算的复习专题研讨，是对修订版课标征求意见稿中提到的“让学生感悟运算的一致性”观点从理念走向实践的一次积极尝试。

（一）一致性依赖单元内容的整合

修订版课标对“数与代数”领域有这样的要求：“体会数的运算本质上的一致性，形成运算能力和初步的推理意识。”并在五、六年级的“教学提示”部分进一步指出：“数的运算教学应注重对整数、小数和分数四则运算的统筹，进一步感悟运算的一致性，从整体上理解和掌握运算的算理和算法，认识计算方法的共性与差异。”

修订版课标中所言的“整体上理解”，即让学生发现数学在本质上呈现“一致性”。所以，三位老师设计教学时没有为教小数而教小数，都将小数的四则运算与整数的四则运算进行比较;没有为计算而计算，都将计算置于意义之中;也没有为程式化的法则而法则，都将法则返回到算理进行解释。当然，复习课这样的处理，也考验学生在整数、小数四则运算的新授中，有没有经历过算理和算法的探索过程，有没有感悟到数的运算以及运算之间的关系;还考验教师过往教学整数、小数的意义时，能否体现数都是用计数单位数出来的思想。随着反思的进一步深入，数与运算的教学就应该视作一个大单元，通盘考量，每一次认识新数的教学，每一次运算的教学，都需要从“计数单位”这个核心概念介入，从而让复习课在温故中以一致性统领。

再进一步，小学数学其他板块的内容，也需要作出单元整合，找到统领数学一致性的核心概念。然后基于此，从不同的侧面丰富数学概念的外延，从外延的回溯中辨析数学概念的内涵，让学生在内容与方法的一致性中，学习有条理的思维，树立学好数学的信心。这样，学生在复习中才会收获举一反三的本领，学习才会向宽度、深度、广度延伸，才能为后续学习提供足够驾驭未知的能力。

（二）结构化基于多维联系的视野

修订版课标中所言的“整体上理解”，还要让学生学会建构知识的结构。其实，小学数学“数的运算”内容自成结构体系，主要涉及运算的意义及四则运算间的关系，加、减、乘、除笔算法则，运算定律和运算性质，运用数的运算解决实际问题等。为了在复习中实现运算结构的自洽，三位老师摒弃了传统教学中“做一题，讲一题，查缺补漏”的方法，让学生或在看教材目录或在回顾以往所学中，将近阶段所学与久远阶段所学联系起来，让学生在解释整数如何加、减、乘、除中，想到小数加、减、乘、除是否做的是同一回事。而且，三位老师不约而同地先进行数的意义复习，在此基础上展开相应的运算教学，并将数的运算教学与解决实际问题有机联系在一起。

正是联系，让知识点生长出了维度。就运算关系而言，加法是减法和乘法的基础，加法和减法是互逆的;乘法是加法的简便算法;乘法又是除法的基础，乘法和除法是互逆的;除法还是减法的简算。就运算法则而言，既然加是相同计数单位的累加，那减就是相同计数单位累加的反向操作，乘是相同计数单位的多次累加，除是相同计数单位多次累加的反向操作。

不同的运算方式各具特点，各有能发挥其特点的适用范围，但相互之间存在着十分重要的关联。其中，口算是探索笔算和估算方法的前提和基础，是一种重要的运算方法，笔算过程又是若干个简单口算的组合与应用;估算结果可以用来检验笔算结果的合理性，笔算结果又能反过来强化对估算意义和价值的认可。

当然，小数四则运算也会在整数四则运算的基础上做适度的改变。结构改变主要有三种方式：增加、调整和重建。增加是在既有结构中不改变先前的架构而增加新知识;调整的目的是使结构较为自动化;而重建结构则是为了获得更深层的理解与顿悟。鲍建生，周超.数学学习的心理基础与过程[M].上海：上海教育出版社，2009：128。例如，小数除法，如果被除数、除数是小数位数不同的数，则无须将这两个小数都化成整数，只要将除数化成整数即可，这可看作结构的增加。又如，0.1×0.1，两个乘数的计数单位都是十分之一，但是乘积的计数单位是0.01。这样，当一位小数乘一位小数时，就可以把这些小数视作整数，最后数出的就是整数乘积个001。这也就能解释为什么笔算小數乘法的法则是：数出乘数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点。这可看作结构的重建、结构的改变，是为了让数学具有开放性，而开放的结构也让更多的知识点产生了联系。

（三）真理解源于思想方法的通透

学生数学知识的积累和数学能力的发展是一个螺旋上升的过程，所以，数学教学需要具有延续性和统一性，需要教师在教学的过程中帮助学生做好有效衔接。史宁中教授所著的《基本概念与运算法则——小学数学教学中的核心问题》一书中提到：“从自然数开始，每扩充一次数的集合都是为了满足某种运算的需要。”史宁中.基本概念与运算法则——小学数学教学中的核心问题[M].北京：高等教育出版社，2013：91。小数四则运算的复习，三位老师跳出了纯粹的运算训练，带领学生回到知识的源头去思考问题，让运算浸润到意义中。更重要的是，学生通过复习，领悟：计算都是数相同的计算单位，其背后都是运算律在支撑;计算不仅是算，还是依据交换律、结合律、分配律在做推理，是为运算。

学生脱离背景，抛开具体量，只用计数单位这个工具去思考算，无疑通透了抽象的思想方法;学生用运算律去解释为什么可以这样数，还为算得更灵活打开了通道，无疑通透了推理的思想方法。正是抽象与推理，开启了学生思考数学的一般路径，也为数学的形式化、数学证明奠定了坚实的基础。

总之，站在期末复习的节点，学生需要多在不同中看见相同，即洞察“一致性”。为此，探讨小数四则运算的复习，并透过三位老师的教学对教学内容进行有效拆分、合并与重组，其实质体现了以学习为中心。徐斌老师说：“这是一次‘知网搜索文献为0’的同课异构活动，但通过对小数几个相关单元的复习，看到了学生基于学科更好生长的教育价值与契机。三节课的实践，似乎为我们找到了打破复习课耗时低效、缺乏系统的良方——心中有学生，知识有结构，通联见本质，教育应无痕。”