有序思考促进数学基本图的合理生长

章渭根

【摘要】《数学课程标准》指出，发展学生“几何直观”素养是课程重要内容之一。这一素养发展的关键在于如何培养学生的图象表征能力。从学生学情出发，引导学生有序思考，理解基本图的来源、常态、变化，探究知识间的联系与结构，促进基本图的生长，得到丰富的拓展图。学生在理解的基础上巩固常规图形，单元知识结构直观呈现、不断完善。

【关键词】有序思考;图象表征;生长;基本图;拓展图

在一次八上数学期末测试中，对两个试题的学生解答情况反馈引发笔者的深入反思：

试题一：单选题第4题，已知下列尺规作图：①作一个角的角平分线;②作一个角等于已知角;③作一条线段的垂直平分线，其中作法正确的是（ ）

A.①②B.①③C.②③D.①②③

试题二：第12题，“等腰三角形底边上的高线与中线互相重合”的逆命题是，这个逆命题是命题.（真、假）

试题一的准确率比我们预计的要低，试题二的正确率更是低得出奇，不得不让我们对几何教学进行深入反思。在教学中，我们从教师角度出发思考教学策略、设计教学环节，过于重视作图的规范性，定理、证明如何使用，几何语言如何书写。忽视了从学生角度来质疑：为什么要学这个内容？为什么要这样画图？未追问“等腰三角形三线合一”为什么一定要先知道等腰三角形底边上的中线两个条件，缺乏有序思考。

图象表征是指借助图象表达几何问题及内在关系的一种直观形式，是“几何直观”素养实践的一种操作载体。通过图象表征能力培养，形成“主动思考问题→分析思维障碍→寻求最近发展区→学会图象表征→思考问题更直观”的有效解题途径。

一、导入中，通过有序思考触发基本图的生长

课堂教学中，有序思考对“教”与“学”的整个活动流程起引领作用。上面试题二的相关教学中，教学导入与探究环节可设计为：复习三角形中线的定义、性质和相关推论→探究等腰三角形的中线（腰上、底边上）会有什么特殊性？学生不难发现腰上的中线无特殊性质，而底边上的中线有“三线合一”的性质。这样的教学设计，能够让学生明白“等腰三角形三线合一”三角形中线性质的一种特例（同理也可以从高线、角平分线来探究），找到其合理的“生长点”，让单元教学的过渡非常自然，学生的知识体系逻辑性更强。

理解“教学活动”，在有序思考原则下进行质疑，达到数学概念、方法在整个教学活动中的一致性，贯穿课堂、作业、复习、考试这些学习环节，使“教”与“学”高度融合，其

关系如下图所示：

基本图不是直接给出的，而是通过分析图形基本要素间的关系之后触发生长，对比归纳后才基本定型。如在“解直角三角形”的教学中，先设疑“直角三角形是怎么来的？为什么要解直角三角形？如何解直角三角形？”，然后设计“串式”问题引领：两个角行不行？→一直角加一边行不行？→再加一角（或一边）呢？再通过探索证明、举例验证得到基本图，激活学生的思维，增强学生的主动性和体验感。

二、纠错中，通过质疑分析巩固基本图的常态

在基本图的运用（练习、作业、测试等）中，教师的意愿是通过反复强调，学生能熟练运用某一种基本图。而实际上从学生反馈情况来看基本图是千姿百态的，这就需要教师引导学生通过已学知识及时进行分析和纠错，从有利于学生图象表征能力发展出发，科学分析和合理评价。

例如，“画线段的垂直平分线”教学中，对于学生出现的各种画法及时进行归类、分析和点评，对于错误的画法要分析错因，对于正确的画法要分析为什么对？哪种画法更简便？

三、交流中，通过反思变式探究拓展图的应用

学生掌握基本图的基础上，通过交流引导学生反思和质疑，在探究解决学生疑点的过程中，自然地生长出拓展图，构建出较完整的图象体系，学生获得研究问题的基本方法和程序，树立用数学思维来解决问题的意识。

例如，在上述试题二中蕴含的“等腰三角形的性质‘三线合一”教学中，其基本图有三种，这三种基本图有共同的前提条件“等腰三角形”，而子条件是“底边上的高线”“底边上的中线”“顶角的角平分线”三者中选一个，另外两个当结论。得到第一个基本图形之后，另外两个基本图可以通过引导学生反思质疑来导出。当学生发现子条件和其中一个结论互换后仍然是真命题，就很自然地设疑“可不可以将等腰三角形作为结论呢？”，然后通過探究推理得到了与基本图相关的一些拓展图。

学生设疑：可不可以将等腰三角形作为结论呢？运用分类讨论思想，然后通过推理证明，可得相关拓展图：

四、复习中，通过思维导图建构知识系统

知识梳理是复习的重要方面，是巩固基础、理清脉络的有效方法， 思维导图能更直观地显示各知识的来龙去脉，更具逻辑性，提高了复习效率。例如上述试题二涉及的知识内容源于“三角形”大单元的一个分支，再引出三角形的“三线”性质特殊化，即等腰三角形的“三线” 性质及拓展，后续学等边三角形、直角三角形、等腰直角三角形时又会引出三角形“三线”性质的另三个特殊化分支，如“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，这样的知识系统构建过渡自然、逻辑性强、学生易于理解和掌握。

图象表征能力的培养贯穿于学生的整个学习过程，新课重视基本图的来源、拓展图的生长，复习课重视这两类图的关联体系构建。教学过程中引导学生渐进探究，有序思考，清晰表达。教学时厘清三种序列：（1）知识脉络发展序列。从已学到未知、从特殊到一般。（2）探究操作活动序列。教学时化“无形”为“有形”，学生积极参与看、说、画、问、思等活动，独立思考与合作学习有机结合。（3）思维脉络发展序列。遵循由具体到抽象，由分散到聚焦等思维脉络培养。实践发现，这样可使学生进一步加深对三种数学语言之间关系的理解，理解基本图和常见图的条件和构造特点，并在学习中不断地丰富储备。学生更容易走近数学，对数学和老师更有亲切感，在尝试中获得成功体验，增强自信。在解决教复杂的图象类问题时，能拆解成许多关联的基本图。没有形成解题思路，也会从基本图出发去考虑，迅速找到题眼，提高解题效率。

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011版）[S]. 北京师范大学出版社，2020.

[2]李军.数学教学的根本要义——以“勾股定理（第一课时）”教学为例[J].中学数学教学参考（中旬），2021（6）：10-13.

[3]陈玉娟.基于数学理解性学习的习题课教学[J].数学通报，2019， 58（7）：50-53.