基于扭摆的微冲量测量方法及实验研究1)

2022-04-07杨超贺建武

力学学报 2022年3期

杨超贺建武章楚康琦,2) 段俐

* (中国科学院力学研究所,北京 100190)

† (中国科学院大学工程科学学院,北京 100049)

引言

2019 年8 月31 日,中国科学院空间科学(二期)战略性先导科技专项首发星,微重力技术实验卫星,也是我国首颗空间引力波探测技术实验卫星,在酒泉卫星发射中心成功发射.微重力技术实验卫星(后命名为“太极一号”)是以重大基础科学前沿涉及的关键技术验证为任务目标的技术验证星,对航天器平台高微重力水平控制技术以及空间超高精度测距技术进行在轨实验验证.“太极一号”的成功发射与第一阶段在轨测试任务顺利完成,迈出了我国空间引力波探测的第一步,为我国在空间引力波探测领域率先取得突破奠定了基础.脉冲宽度调制式冷气微推力器在“太极一号”姿态控制中起到关键作用.此外,近年来微纳卫星的快速发展,微纳卫星在空间轨道上精确编队飞行,协同工作、集群、星座以及轨道维持、姿态调整等任务都需依靠微推力器.除上述脉冲冷气微推力器外,脉冲等离子体推力器(pulsed plasma thruster,PPT)也是有着广阔的应用前景.PPT 因比冲高、体积小、质量轻、结构简单和耐用,以及所需星上电源功率小等优点,在微纳卫星研究领域得到了越来越多的重视[1].脉冲式微推力器产生的冲量元一般从1 μN·s 到百 μN·s[2]不等,分辨力可达0.1 μN·s,这就对微推力器推力冲量的测量提出新的挑战.

国内外研究学者针对微冲量测量设计加工了多种测量装置,主要有悬丝扭摆[3-5]与枢轴扭摆[6-13]两种结构.枢轴扭摆结构相比于悬丝扭摆只有一个敏感自由度,抗干扰能力强,应用更为广泛.常用的基于扭摆的微冲量测量方法有两种,方法一是根据单个冲量元瞬间作用于无阻尼扭摆后,扭摆转动最大角位移计算冲量[3-11,14-17];方法二是根据高固定频率的连续脉冲作用于有阻尼扭摆后,扭摆转动的平均角位移计算冲量[10,13,18-21].在冲量测量的性能方面,Koizumi 等[2]研制的推力测量装置已成功应用于液体工质PPT 与二极管激光烧蚀微推进器的冲量测量,在两种推力器冲量测量中,测量装置的精度分别为2.1 μN·s和0.7 μN·s.Cubbin 等[9]研制的推力测量装置可测冲量范围100 μN·s 到10 N·s,测量误差小于2%,并已应用于PPT 冲量测量.Haag[10]利用平均推力方法即方法二测得某一型号脉冲等离子体推力器冲量元为260 μN·s,由扭摆漂移带来的误差小于1%.华中科技大学研制的悬丝扭摆推力测量装置推力测量范围达264 μN,分辨力0.09 μN,此外该推力台架最高可测1350 μN·s 的冲量,分辨力为0.47 μN·s,测得用于中国TEPO 航天任务的PPT 的冲量元为58.4 μN·s,重复性约为5%[3-4].国防科学技术大学鲁高飞[18]使用扭摆测得推力器在20 J和11.25 J 放电能量下产生冲量分别为422.415 μN·s,244.266 μN·s,相对误差分别为 1.28%,2.05%;航天工程大学激光推进及其应用国家重点实验室针对脉冲激光推力器的微冲量测量进行了大量系统且深入的研究[14,22],研制的基于悬丝的水平扭摆冲量测量装置测量了激光与工质作用产生的微冲量,结果表明该测试系统分辨率为0.02 μN·s,量程为0.2～ 80 μN·s[5];此外研制的枢轴扭摆测试台架理论推力测量范围达609.6 μN,分辨力0.024 4 μN,利用平均推力测量方法,以电磁螺线圈与永磁体作为激励器,对微推力器进行仿真,进一步研究了推力架的性能.测试了具有相同振幅和脉冲宽度的17,33.5和55 Hz 的3 组力脉冲,各频率重复性误差分别为7.04%,1.78%和5.08%[13].

研究团队在微推力器推力大小、分辨力、噪声测量方面进行了一系列研究[23-25],针对脉冲推力器的冲量测量,本文工作采用常见的两种基于扭摆的冲量测量方法,以电磁螺线圈与永磁体作为激励器,对团队研制的亚微牛级推力测量系统微冲量测量能力进行评估,以期服务于脉冲微推力器研制改进与性能评价.

1 推力测量系统

1.1 系统组成

推力测量系统主要包括推力测量装置、真空罐、电容式位移传感器、高精度电子天平、源表和电脑等硬件,以及基于Labview 的标准力产生与扭摆自标定软件、微推力标定软件,系统组成如图1 所示.推力测量装置中的扭摆与底座光学平台通过枢轴连接,平衡并固定.推力器安装在扭摆的一侧,另一侧安装了电容位移传感器,同时通过位移限制装置保护传感器头免于扭摆的碰撞.静电梳接地端安装在扭摆上,而接高压端则安装在三维位移台上.扭摆上为配重预留诸多螺丝孔,配重根据实际需要添加.磁阻尼装置则由U 型铁和两个强磁块组成,放置在扭摆右端前后侧.枢轴正上方通过设计以金属液体作为桥接的通电导线,避免了实际推力器测量中导线带来的扭矩干扰[26],同时设计供气软管道与枢轴同心,尽可能降低气管带来的扭矩影响.

图1 推力测量系统[25]Fig.1 Thrust measurement system[25]

1.2 推力测量原理

标准力产生装置原理图如图2 所示,静电梳由高压端与接地端两个梳齿组成.在插入方向上,其交叉齿间产生的静电力与输入电压的二次方具有良好的线性关系[27-28]

图2 标准力产生装置原理Fig.2 Principle of standard force generating device

其中F是静电力,方向平行于静电梳齿,N为静电梳齿对数,ε0为真空介电常数,V是所加正高压,h为静电梳宽度,g为静电梳交叉齿间距.

通过高精度电子天平测量不同电压下静电力即标准力大小,采用最小二乘法对电压平方和静电力做一次拟合,得到两者之间的关系式为[25]

其中,Q1=-0.024 39 μN,Q2=0.001 107 μN/V2,均方差为0.001 61.

相同规格的静电梳对也安装在推力测量装置上,高压端由源表提供正电压,与接地端产生标准静电力,带动扭摆转动,根据式(2)以及源表高压监测可得该力大小,扭摆转动带来的位移由电容位移传感器测量;结合标准力大小可得位移与标准力关系.此后当推力器工作时,推力可由位移和标准力关系式计算得出.

1.3 静态推力测量性能

如图3 与图4 所示,经过优化,该系统的推力分辨力达到0.025 μN,背景噪声在1 mHz～ 1 Hz 之间优于0.1 μN/Hz1/2.具体标定方法可查阅文献[25].

图3 推力测量系统分辨力[25]Fig.3 Resolution of thrust measurement system[25]

图4 推力测量系统背景噪声[25]Fig.4 Thrust measurement system background noise[25]

2 微冲量测量方法

2.1 最大角位移测量冲量元

扭摆的运动方程可以表示为

其中,J为扭摆的转动惯量,θ 为扭摆的运动角位移,λ为阻尼因子,k为枢轴扭转系数,F(t)和L分别为作用在扭摆上的力与力臂长度.

为方便二阶方程的求解,一般将其转换为如下形式[16]

ζ为无量纲参数阻尼比,

假设冲量作用时间极短的情况下,扭摆运动为单自由度系统的有阻尼振动,其运动方程如下

此时,由动量矩定理

得

当阻尼比趋近于零时,单个冲量元表达式为

2.2 平均角位移测量冲量元

以固定的周期T对扭摆施加相同的单冲量元,此时扭摆运动状态为单自由度系统的有阻尼受迫振动.作用力矩M(t)=F(t)L=M(t+kT) (T=1,2,···),满足狄利赫里条件,进行傅里叶级数展开

则系统响应为[13,19]

有阻尼受迫振动由衰减振动与受迫振动合成,衰减振动随时间增加很快衰减,以后系统基本上按受迫振动的规律进行周期振动[29].在阻尼较大情况下,即当 ω1≫ωd时,最终扭摆在一固定位置以极微小振幅上下振动,该位置记为

3 微冲量测量实验

3.1 扭摆系统参数标定

进行微冲量测量前需要对扭摆系统参数J,λ,k进行标定.

利用静电梳,对扭摆施加一已知大小的恒定推力F,该力力臂设为R,扭摆微小摆动,J,λ和k为常数.扭摆的运动角位移 θ 在实际中难以测量,常用位移传感器测量摆端位移再换算摆动角度,在小角度下有

其中x是位移传感器测量的位移量,b是传感器测量点到扭摆转动中心的长度,于是式(3)可改写为

扭摆振动在有阻尼情况下逐渐收敛稳定,此时扭摆速度、加速度为0,根据式(16)得到扭转系数表达式为

同样利用静电梳对扭摆施加瞬时激励,此后扭摆自由振荡,通过对位移传感器测量的位移量进行频谱分析,找到扭摆无阻尼振荡频率f0和有阻尼振荡频率fd,分别对应的角频率为

则扭摆转动惯量为

阻尼因子为

3.2 最大角位移测量冲量元实验

以电磁螺线圈与永磁体作为激励器,对微推力器进行仿真,与文献[13]永磁体固定于扭摆上不同的是,如图5 所示,本实验中永磁体固定于扭摆外,螺线圈则固定于扭摆之上,电磁螺线圈与控制装置即函数发生器通过设计电极桥接装置连接,从而避免导线带来的扭矩,如此布局更符合脉冲推力器的测量实际.

图5 实验布局[25]Fig.5 Experiment layout[25]

利用函数发生器对电磁螺线圈输入恒定电压,根据偏转位移与扭转系数k测得该电磁力大小约为36.65 μN,电磁力大学如图6 所示.

图6 电磁力大小Fig.6 The magnitude of electromagnetic force

取下永磁阻尼装置后,调节函数发生器输出持续3 ms 同一恒压,扭摆自由转动,根据测得的转动位移结合式(8)和式(15)计算该冲量元,其表达式为图7 为测量结果.以扭摆最大位移计算测得该冲量大小为0.11 μN·s.

图7 3ms 冲量测量结果Fig.7 Three millisecond impulse measurement result

同一恒压持续时间改变成300 ms.此时测量结果如图8 所示,大小为9.249 μN·s,与理论值10.991 μN·s 相差甚远,这是因为式(8)是基于冲量瞬间耦合且无阻尼两个假设建模得出,300 ms 的冲量持续时间已不满足该假设,仍以最大角位移测量冲量元,导致测量误差增大,将在第5 节误差分析中进行系统误差分析.

图8 300ms 冲量测量结果Fig.8 Three hundred milliseconds of impulse measurement result

若以该方法测量,可测冲量分辨力、大小由测量位移的分辨力与量程决定,考虑位移噪声影响,本系统冲量测量范围为0.05～ 220 μN·s,分辨力可达0.02 μN·s.

3.3 平均角位移测量冲量元实验

加上永磁阻尼装置后,设置函数发生器输出波形为方波,输出频率1 kHz,占空比从10%,以10%的台阶调节到90%.

扭摆在该高频电磁力作用下自由转动,根据测得的转动位移结合式(8)和式(15)计算该冲量元,其表达式为

图9 为9 个台阶推力测量结果.若以该方法测量,由式(23)可知,可测冲量分辨力、大小,除了推力测量范围与分辨力外还与脉冲周期有关.本系统的推力分辨力可达0.025 μN,最大推力测量可达400 μN[25],所以当该周期为1 ms 时,本系统冲量最低可测25 pN·s 的冲量,分辨力可达25 pN·s.周期为一秒时最高可测400 μN·s 冲量,分辨力为25 nN·s.

图9 平均推力Fig.9 Average thrust

4 误差分析

4.1 最大角位移测量法误差分析

(1)系统误差分析

实际测量中阻尼不可能完全不存在,且冲量存在持续时间,需要对阻尼以及冲量持续时间带来的误差进行分析.

阻尼带来的误差可表示为

式中 ε 与 ζ 的关系如表1 所示.

表1 误差与阻尼比的关系[16]Table 1 The relationship between error and damping ratio[16]

冲量存在持续时间带来的误差分析如下.忽略阻尼影响,当冲量非瞬间耦合,在作用力持续时间tf内,扭摆的运动单自由度系统无阻尼受迫振动,此后为无阻尼自由振动,受迫振动阶段运动方程可表示为[14]

自由振动阶段为

通过数值模拟法来计算误差更为方便.固定扭摆系统参数J和k,改变tf大小,根据数值解中最大偏转角 θmax与式(8)得到冲量的数值解,而实际冲量大小则为

引入无量纲参数:tf/T0,为冲量存在持续时间与扭摆自由振动周期之比,以方波为例,当此无量纲参数为0.313 时,时间取4 s,步长为1/20 000,数值模拟结果如图10 所示,此时误差约为15.35%.

图10 误差分析数值模拟结果Fig.10 Error analysis numerical simulation result

表2 为tf/T0与系统误差 ε 的关系.

表2 系统误差与 tf/T0 的关系Table 2 The relationship between systematic error and tf/T0

(2) 测量误差分析

根据式(1)、式(2)、式(15)、式(17)、式(18)、式(20)、式(22)可得测量误差的传递关系

相对误差则为

源表为吉时利2410 系列,电压输出与测量精度可达0.015%,所以由电压测量带来的误差为0.03%;扭摆加工精度高,力臂采用千分尺测量,误差小于0.20 mm,由此对标准力力臂与推力力臂造成的相对误差分别小于0.20%和0.10%;周期测量带来的误差小于5 ms,由此带来的相对误差小于0.51%,位移噪声约为15 nm,由此带来的绝对误差约为0.025 μN·s,因此单冲量测量误差可表示为[30]