基于二次规划建模的甘蔗企业生产计划与算例研究

冯德鸿

（1.三峡大学理学院，湖北宜昌 443002；2.三峡数学研究中心，湖北宜昌 443002）

0 引言

如何降低我国甘蔗种植生产成本问题的研究，主要两个研究方向：第一是在宏观层面进行的以定性分析为主的研究，从整合土地资源培育蔗种开始，直到蔗糖成品进入市场，种植与生产的全方位和全过程链的成本包括土地租金成本、劳动力成本、相关生产资料成本（蔗种、农药、施肥、机械设备耕作和收割、装车与企业生产加工），将以上各要素进行综合定性或初步定量分析，如广州甘蔗糖业研究所江永等人的研究[1-3]；广西农业科学院甘蔗研究所杨荣仲等人应用统计技术分析实验数据，对甘蔗育种问题的研究[4]；广东省科学院南繁种业研究所胡朝晖等人应用统计分析技术，分别从甘蔗单产与产糖率年遗传增益角度，对全球蔗糖主要生产国进行的对比研究[5]；广西民族大学商学院的廖东声等人对广西甘蔗产业现状、生产特点及生产成本项目等方面进行财务会计分析、生产成本核算及成本控制等方面的研究[6]。第二是在微观层面以“智慧农业”为理念，综合应用北斗遥感卫星影像（RS）、地理信息系统（GIS）与人工智能（AI）优化算法、5G 通信与无人机械化种植管理等技术手段，而进行精益种植与精准生产方面的研究，如华南理工大学轻化工研究所的陈山等人应用系统工程的原理与方法，对制糖企业生产管理进行最小二乘法的决策建模[7]，来降低企业生产成本；广西农业科学院甘蔗研究所罗亚伟等人对甘蔗生产全程机械化应用成本及效益进行投入—产出模型分析[8]。

本文则应用运筹学二次规划建模的原理与最优化方法，对制糖企业生产如何降低蔗糖损失的研究则属于第二方面。

1 问题描述

我国广西壮族自治区某甘蔗种植与生产基地专业生产蔗糖。甘蔗在砍收后将通过同型号（具有相同载重量）的货车运送到甘蔗制糖企业。一辆货车的运输量、能够生产出来的蔗糖取决于甘蔗收购的地点、以及甘蔗成熟的程度。在收砍之后，甘蔗中的含糖量将因发酵而急剧下降，因而所含糖分损失随时间延长而增加。生产制糖企业经营主管希望编制一个生产计划，使得总甘蔗损失降到最低。表1 是依据往年历史经验数据，对车辆的损失率以及剩余时间进行统计，得到的每辆货车甘蔗的属性表。

表1 每辆货车甘蔗的属性Table 1 The nature of each truck of sugarcane

2 数学规划建模

现有n辆货车到达生产企业，在生产企业内有m条固定生产线，每辆货车甘蔗的加工时间平均为t小时。因为收砍后的甘蔗蔗糖分的损失不仅仅与运送时间有关，还受所处的环境温度、湿度等因素影响，此生产计划建模过程暂且不考虑环境温度、湿度等因素影响。在每辆货车甘蔗的属性表1中，鉴于甘蔗的最大剩余时间为8 h，设定最早加工时间为0，这样可将整个加工时段分割成4 个时段1～2、3～4、5～6、7～8，即每2 h 为一个时段，分别称为时段1、时段2、时段3、时段4。

设0-1变量xij表示第i辆货车是否在第j个时段上加工（i=1，2，3，…，n；j=1，2，3，4），即xij=1 表示第i辆货车开始在j个时段加工，xij=0 表示其他情况；第i辆货车的剩余时间为bi，损失率为pi，则目标函数是使总的甘蔗损失降到最低，总的甘蔗损失可表示为minZ=，约束条件如下：

(1)每辆货车必须编制在4个时段至少1次且仅1次的限制：=1。

(2)m条固定生产线，每个时段最多只能同时允许m辆货车加工，可表述为≤m。

(3)每车甘蔗平均加工时间为t小时，甘蔗必须在质量寿命结束之前完成加工的限制，即≤bi。

所以生产计划模型描述如下：

3 模型分析与算例

模型分析：除了约束条件(2)、(3)是线性约束（分别为等式约束与不等式约束）外，另两个约束条件(4)、(5)则为非线性约束（分别是不等式约束与等式约束），因为按照求解非线性0-1 二次规划问题的NCP 函数法思想[9]，可将0-1变量等价转化为非线性不等式与等式约束，即：

目标函数为非线性二次函数，这是0-1 二次规划模型[10]，于是应用非线性凸二次规划的内点算法[11-12]来求解，可在运筹学软件包如Matlab[13]中编程或Excel加载宏规划求解中实现[14]。选择Excel加载宏规划求解的计算平台，设置目标函数与约束条件的相应参数后，得到的计算结果如表2所示。

最优方案生产计划表明（表2）：编号为4、5、6、13的货车在时间片段1加工；编号为3、10、12、14的货车在时间片段2 加工；编号为2、9、11、15 的货车在时间片段3 加工；编号为1、7、8 的货车在时间片段4 加工，甘蔗最小损失量是2 440 kg，而且还发现编制生产计划的一条优先原则：损失率越高、剩余时间越短的货车，就越优先安排生产；损失率越低、剩余时间越长的货车，就越往后安排生产。

表2 甘蔗企业生产计划的最优方案Table 2 The optimal plan of production planning for sugarcane enterprises

4 结论

本文简要地概括了如何降低我国甘蔗种植生产成本问题存在的两大研究方向，针对我国南方甘蔗企业生产加工中普遍存在的蔗糖损失消耗问题，在暂不考虑环境温度和湿度等因素的影响下，研究了如何有效地降低损失率，建立了带损失率约束的生产计划非线性0-1 二次规划模型，并对模型的特点进行了必要的分析，应用求解二次规划模型的内点算法，计算得到最优的生产计划执行方案，算例结果还表明，编制甘蔗企业生产计划存在着一个优先原则：损失率越高且剩余时间越短的货车，就越优先安排生产；损失率越低且剩余时间越长的货车，就越往后安排生产。文中建立的甘蔗企业生产计划的非线性整数二次规划模型以及相应的内点求解算法在解决甘蔗企业生产中具有一定程度的人工智能意义。