聚焦圆锥曲线的最值（范围）问题

王佩其

基本策略一、利用定义和几何关系

例1已知点P在离心率为2的双曲

解析：设左焦点为F1，由题意可得：

|PF|-|PF1|=2a，lPF|=2a+|PF1|。

△PAF的周长=|AP|+|PF|+|AF

=AP+PF，+AF+2a≥AF1+|AF|+2a。

当且仅当A，P，F1三点共线时取等号，所以AF1+AF+2a=20。

点评：遇见椭圆和双曲线中的最值问题，常把到左焦点的距离转化为到右焦，点的距离，反之也可以;遇见抛物线中的最值问题，常把到焦，点的距离转化为到准线的距离，反之亦可。

基本策略二、利用基本不等式

0）有相同的焦点F1，F2，点P是椭圆C1与双曲线C2的一个公共点，e1，e2分别是椭圆C1和双曲线C2的离心率，若PF1⊥PF2，则4e+e？的最小值为（）。

解析：由题意设焦距为2c，椭圆长轴长为2a1，双曲线实轴长为2a2。

不妨令P在双曲线的右支上，由双曲线的定义知|PF1|-|PF2|=2a2。①

由椭圆定义知|PF1+|PF2=2a1。②

又因PF1⊥PF2，故PF1|2+|PF2|2=2

点评：当欲求的表达式中出现两个变量且求最值时，利用基本不等式解题是首选。

基本策略三、利用函数思想例3已知过抛物线y2=2px（p》0）的焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，且AF=3FB，抛物线的准线l与x轴交于C，AA1⊥1于点A1，且四边形AA1CF的面积为63。过K（-1，0）的直线1'交抛物线于M，N两点，且KM=λKN（入∈（1，2]），點G为线段MN的垂直平分线与x轴的交点，则点G的横坐标x。的取值范围为（）。

解析：过B作BB1⊥1于B1。设直线AB与准线1的交点为D，由抛物线的性质可

知AA1=AF，BB1=BF，CF=卫。

点评：函数思想就是把圆锥曲线的最值或取值范围问题转化为函数的最值或值域问题，采用这种策略的关键是合理引入参数建立函数关系式，并确定参数的取值范围。

基本策略四、利用不等式

b》0）的一个焦点是F（1，0），O为坐标原点，过点H（3，0）的直线交椭圆C于点A，B。假设P为椭圆上一点，且满足OA+OB=tO户，当！PA-PB《3时，求实数t2的取值范围。

解析：设P（x，y），A（x1，y1），B（x2，y2），AB的直线方程为y=k（x-3）。

点评：最值或取值范围问题，本质上体现了一种不等关系，因此利用题中的代数和几何关系（如角度、向量、斜率等）或判别式，建立不等式也是求解圆锥曲线最值或取值范围问题的-种基本方法。

（责任编辑 徐利杰）