基于多状态劣化空间划分的多部件系统维修决策

张晓红，张 欣，张剑飞，罗元庚，冯 泽，石冠男，张小龙

(1.太原科技大学 工业与系统工程研究所，山西 太原 030024；2.太原科技大学 经济管理学院,山西 太原 030024;3.山西人文社科重点研究基地装备制造业创新发展研究中心,山西 太原 030024;4.晋能清洁能源风力发电有限责任公司,山西 太原 030000)

0 引言

实际生产的工业系统往往因为故障的发生而带来停机损失，从而影响系统的安全与可靠性。而维修决策是在保证不影响系统性能的情况下，制定合理的维修计划，实现节约维修费用的目标[1]。根据检测到的系统的实际工作运行状态建立合适的维修决策，可以为实际的工业系统提供相关维修决策的理论参考。维修决策研究的必要性和迫切性得到了越来越多国内外学者的密切关注，成为了热点研究方向之一[2-6]。

维修的主要目的是在节省维修成本的同时，降低故障概率，由于科技进步的发展导致系统复杂度增加，太过频繁的维修也会带来高昂的维修费用，因此，需要制定一个在保证系统性能最优的情况下维修频率最小的维修策略[7]。目前，传统的针对单部件系统开展的维修决策研究已不能满足实际工业系统的需要，一些学者逐渐开始关注多部件系统的维修决策建模，如ALASWAD等[8]重点介绍了基于状态维修的基本概念，表明未来的研究方向。NOWAKOWSKI等[9]重点总结并对比了研究多部件系统的常用维修策略(成批维修、成组维修和机会维修)。SAKIB等[10]重点分析了基于状态维修中考虑维修成本的影响和维修的适用范围。赵英俊等[11]以防空反导装备部件为研究对象，将检测周期作为决策变量，建立以费用率最小为目标的维修决策优化模型。杨元等[12]在维持多部件系统中部件可用性代价最小的条件下，建立了系统的机会维修策略模型。姚运志等[13]通过计算不同部件的失效次序统计量，优化各参数变量，建立费用率最优的维修策略。阮旻智等[14]建立了定期维修与视情维修相结合的维修模型，给出了失效风险的解析表达式．以保证长期运行的条件下费用率最小为目标，失效风险为约束变量，确定组合维修策略优化模型。

描述系统状态的劣化过程的方式分为连续状态建模和离散状态建模两类，不同设备的劣化过程可以采取不同的劣化状态建模方式。连续状态建模是将系统的劣化过程视为一个连续随机过程，运用Winner过程、Gamma过程等理论描述劣化特性。如NGUYENA等[15]将系统的劣化过程视为连续的Gamma过程，建立了结构复杂多样的多部件系统的视情维修策略。LI等[16]采用Gamma过程描述系统劣化过程，制定考虑随机性和经济依赖性下的视情维修策略。MERCIERA等[17]运用Gamma过程描述系统劣化水平并比较了系统中的两种维修类型。LIU等[18]针对连续累积劣化的系统，采用比例风险模型来表征劣化过程，若检测发现损坏程度或寿命超过设定阈值，则对系统采取相应的维修活动。

离散状态建模是将系统劣化过程离散化，系统内所有可能的状态构成一个离散集合，随着运行时间的增加，系统的劣化程度逐渐加大。如葛恩顺等[19]基于连续时间下的马尔科夫链理论，在不完全维修条件下建立了单系统的维修决策模型。翟晶晶等[20]计算了变压器劣化的状态转移矩阵，建立了相应的维修决策模型。李志栋等[21]用非齐次马尔可夫链分析系统可靠性。LIU等[22]利用系统劣化状态的转移概率表征劣化过程，建立系统最优维修决策模型。OSSAI[23]对拥有多个状态的可修系统进行可靠性评估。DRENT等[24]用半马尔可夫过程理论描述了风机的劣化状态，采用控制限的维修策略建立维修决策模型。

在实际应用中，由于连续监测到系统的状态数据过于冗余，具体应用对象中的监测状态可能存在一些无需区分的无价值状态，将系统的状态值进行相对应的区域划分即可准确描述其运行性能情况。而在实际生产运行中，一些设备的温度、振动、压力等发生变化都可以是系统发生故障的标志，但是在一个特定的范围内设备的性能会呈现出较为一致的稳定状态。另外，因状态概率计算的复杂度过高，通常会导致计算效率偏低，并且因中间结果的引入而造成计算误差偏大，同时由于状态数量较多，在系统的各状态组合中也极易带来组合爆炸问题，故将系统状态划分为多个离散区间表征其劣化过程，可以准确反映其性能情况，做出最优的维修决策。

在此之前，张晓红[25-26]针对相同与不相同部件组成的系统提出了将系统劣化过程视为连续过程的劣化状态空间划分方法，建立了系统的稳态概率密度函数模型，研究了多部件系统的维修决策及备件库存的联合策略问题[27]。在此基础上，又进一步提出了考虑维修效果为非完美维修的建模方式，建立了相对应的维修决策模型[28]。同时，将劣化状态空间划分方法用到了基于时间的维修决策建模中，验证了其正确性和有效性[29]。

目前，将系统劣化状态视为离散过程的劣化空间划分方法还需进一步研究探讨。因此，本文对于劣化独立的同类型部件组成的系统，基于马尔可夫过程理论，提出了该系统的劣化状态空间划分方法，推导了系统的平稳概率分布，建立了以费用率最小为目标的维修决策模型。以风电机组为例，采用算法优化得到最优的检测周期和各个维修状态阈值，分析各决策变量对决策目标的影响。结果证明，该模型对于实际的风机维修决策具有参考意义。

1 系统描述

1.1 系统劣化特征

针对由M个劣化相互独立的同类型部件构成的系统，每次检测可以准确地确定系统的状态。将系统中的部件劣化状态采用离散方式建模，任意部件i(i=1,2,…,M)的所有劣化状态的集合记为S={1,2,…f}，劣化特征定义如下：

(1)部件i的劣化状态随着运行时间的增加不可逆且具有单向性，Xi(t)是t时刻时，部件i定义在状态集S上的随机过程，假设部件每个劣化状态的停留时间服从参数为λ的指数分布，机会、预防维修时间服从参数为μo,μp的指数分布，故障后维修时间服从参数为μf的指数分布，分布函数形式分别为：F=e-μot,F=e-μpt,F=e-μft；

(2)初始时刻时部件状态全新，xi(0)=1；

(3)部件i在运行过程中劣化加剧，当检测到部件状态处于状态f时，故障发生。

1.2 维修策略

采用定周期检测，根据每次检测后的系统中任意部件的状态，分别设定了不同的维修状态阈值：机会维修状态o、预防维修状态p和故障后维修状态f(0≤o≤p≤f)。维修策略描述如下：

(1)每隔一段时间T，检测系统中的部件状态xi(xi∈S)，检测即刻完成，时间忽略不计，每次检测成本为Cins；

(2)若每次检测后，部件i的劣化状态处于p≤xi

(3)若每次检测时系统中任意部件处于预防或故障后状态时，部件需要采取预防或者故障后维修活动，若此时系统中部件i所处的劣化状态处于o≤xj

(4)系统中部件间的相互经济依赖性使得一起维修要比单独维修节省费用，因此每次维修时需要对整个系统进行维修准备，将多个部件同时维修只需准备一次的维修准备成本记为Cset，该成本与系统中部件数量及类型无关；

(5)每次维修过后不影响部件的寿命，视为修复到全新状态，其他情形不作任何处理。

2 费用率模型

在维修模型建立问题中，维修决策优化建模中重点关注的优化目标是费用率最小。根据更新过程理论，BARLOW等[30]将无限时间内的平均费用率定义为：

(1)

式中：R为系统的更新周期，C(R)为周期内总成本。在每一个检测点跟据检测到的系统状态判断是否需要对部件采取部分维修活动或者全部维修活动，本文假设经过维修后的部件恢复为全新状态，未维修的部件保持工作运行且继续劣化，自此维修后的部件及未维修的部件联合构成了新的系统状态，随后系统会以此状态继续工作运行，在下一个检测点根据部件是否需要采取维修活动从而判断系统是否会继续产生新的联合状态，因此多部件系统的劣化过程具有半更新特性。根据系统假设，以系统长期运行平均费用率最小为优化目标，费用率公式可近似表示为：

(2)

因此，一个检测周期内可能产生的系统平均总成本可表示为：

(3)

检测周期间隔、预防维修阈值和机会维修阈值均为维修决策建模中的优化参数。检测周期较小，会带来系统的检测频率过高，导致检测成本增大;而检测周期过长,又会导致系统发生故障的概率增加，从而影响系统正常运行并增加维修成本。过小的预防维修和机会维修阈值会带来相应的维修状态区域变小，频繁的维修会增加预防维修成本和机会维修成本投入，无形中增加的一些没必要的维修成本会影响总体费用率。而增大预防维修阈值和机会维修阈值会导致系统维修不及时，从而影响性能而停机。如式(4)所示，一个好的维修策略是在检测周期、预防维修阈值和机会维修阈值都最小的情况下，系统的总体费用率最优。

s.t.

T=1,2,3,…;0≤o≤p≤f。

(4)

3 联合劣化状态空间划分建模

3.1 联合劣化状态空间划分

前期研究[31]设定了各维修状态阈值，将每一次检测后的部件劣化状态划分为正常运行区、机会维修区、预防维修区和故障后维修区，每个区域由若干个状态集组成,如图2所示。

单部件系统中，虽然不涉及机会维修，但为了建模的一致性，标明了机会维修区域，如图3所示。相同两部件系统的联合劣化状态空间划分如图4所示，每一个系统状态都分别由两个部件的状态组成，前模块表示为部件1所处的状态，后模块表示为部件2所处的状态，每个组合状态之间都存在着相互转移的可能。图5为三部件系统的联合劣化状态空间划分，图中3个模块分别表示为系统中部件1、2、3的状态区域，各组合状态相互转移形成新的状态区域。

3.2 维修需求组合概率

(1)当l=0,m=0,0≤n≤M时，

(5)

(2)当l=0,1≤m≤M,0≤n≤M-1时，

(6)

(3)当1≤l≤M,m=0,n=0时，

(7)

(4)当0

(8)

其中IA(x)为指示函数，定义为

4 平稳概率分析与计算

在不存在维修活动干预的情况下，随着运行时间的增加，系统性能逐渐降低，直到发生故障停机。对于一个多部件的多状态系统，在每一个维修决策点，通常存在维修过后系统中部份部件恢复为全新状态或不采取维修活动继续劣化，系统中每个部件并不是同时处于同种状态，由于多部件系统中的任意部件劣化过程均具有马尔可夫性，已知当前状态的情况下，未来的发生状态只与当前状态有关，而与过去状态无关，故设定任意两个维修决策点之间的运行时间作为一个检测周期(半更新周期)，分析该周期内系统的劣化情况。

(1)部件i存在两种被维修的情况

(2)部件i存在两种不被维修的情况

1)若多部件系统中其他部件没有进行故障或预防维修，即没有给部件i提供机会维修的机会，存在以下两种情形：

因此，部件i的平稳概率可表示如下：

(9)

式(9)可在Pxi(0)=[1,0,…0]和Pij(t)已知的前提下迭代计算求解。

特殊地，对于单部件系统，没有其余部件提供机会维修机会，即当M=1时，平稳概率表示如下：

(10)

5 数值实验

根据平稳概率表达式和维修需求组合概率的计算通式，采用MATLAB工具进行仿真实验，验证该模型的正确性和有效性。

5.1 平稳概率计算

假设一个风力发电系统由5个风力发电机构成，即M=5，每隔5 min检测一次风机的主轴温度，通过实际检测到的风力发电机主轴的温度数据，将其风机主轴处于各个温度状态的停留时间拟合为服从参数λ=0.607的负指数分布。系统的维修时间通常服从指数分布[32]，同时考虑到系统的劣化程度越小，维修难度越小，维修时间越短，并结合具体的风机维修时间数据，假设系统的机会维修、预防维修和故障后维修时间分别服从参数μo=0.211,μp=0.232,μf=0.263的指数分布。定义各维修费用Cset=50,Cp=7,Cc=40，Co=5,Cins=5。一个检测周期内部件状态的转移次数k=10。维修阈值点o=16，p=23，f=25，分别改变检测周期参数，根据式(9)求得系统中部件i的任意一个检测周期内所有可能状态的平稳概率值如表1所示。

表1 系统任意一个检测周期内所有可能状态的平稳概率值

计算可知，多部件系统中各状态的平稳概率之和为1，各维修需求组合概率之和也为1，满足数值为1的条件。调整检测周期的参数，会使各状态的平稳概率发生相对应的变化且存在最大值，因此会影响到维修需求组合的概率值及接下来的维修决策目标值问题，综上可知该平稳概率求解对于后续维修决策建模的有效性和正确性。

5.2 费用率模型验证

5.2.1 正确性分析

图6为机会维修阈值o=16和预防维修阈值p=23时，改变系统的检测周期长度，系统维修费用率随之变化的示意图。可以看出，当T较小时，因为系统的检测较为频繁，所以造成总费用比较高;而随着T的增大，系统状态发生故障的概率变大，因为系统的故障率上升，所以产生了高昂的维修成本;而当T继续增大接近于故障周期时，成本和故障概率趋于稳定，费用率趋向于平缓。

给定系统的检测周期T=5，预防维修阈值p=23，选取o的取值范围为o∈[13,20]，可以得到随着机会维修阈值的改变，系统费用率的变化示意图如图7所示，给定系统的检测周期T=5，机会维修阈值o=16，选取p的取值范围为p∈[17,24]，可以得到随着预防维修阈值的改变，系统费用率的变化示意图如图8所示。

由图7和图8可以看出，机会维修状态阈值和预防维修状态阈值较小时，维修频率过高，将导致相应的维修费用增加，从而系统的平均费用率相对较高，但各维修阈值逐渐增大的同时，都存在一个使得系统的平均费用率最小的极值点。在各维修阈值继续增大的过程中，由于决策不及时而导致发生故障的概率增大，从而系统的平均费用率增大。

对由10个风力发电机组成的风电机组进行实验，采用遗传算法进行优化求解，选取初始种群为5，选择杂交概率和变异概率为0.8和0.2，代沟为0.8，演化代数设定为30。采用遗传算法的一次优化结果如图9所示。由于遗传算法优化结果具有随机性，对其进行了20次优化，表2显示了前10次的计算结果。不难发现，所有结果均收敛于近似的解，并取20次最好解作为最终的满意解。求解得到各最优维修决策变量分别为T=77，o=12.397 189，p=24.532 015，对应的最小费用率为CR(t)=0.064 935。

表2 遗传算法20次优化结果

5.2.2 策略对比分析

若不考虑机会维修，只对系统中的部件进行预防性维修和故障后维修，则系统的空间划分维度降低，其实验结果与考虑机会维修的策略结果对系统维修费用率的影响差异较大。本文采用劣化状态空间划分了方法，对两种不同策略进行了建模与优化计算。

对不考虑机会维修的情况，在相同条件下，同样采用相同参数的遗传算法进行优化,一次优化结果如图10所示，取20次优化的最好值可以得到各最优决策变量分别为T=71，p=20.657 688，对应的最小费用率为CR(t)=1.448 423。通过对比可以发现，在考虑机会维修的情况下系统的平均费用率有明显下降。这也表明劣化状态空间划分的方法可以正确区分不同策略下的维修需求，并计算得到对应的维修需求概率及系统总的费用率。

另外，本文还采用仿真的方法枚举系统所有可能的维修需求并计算其概率，进行了维修模型的求解计算，其计算时间约为劣化状态空间划分方法的20倍。进一步证明了劣化状态空间划分方法的有效性。

5.2.3 灵敏度分析

保持其他参数不变，改变5种维修费用Cset、Cins、Co、Cp和Cc其中的任意一种参数，机会维修区域用Gap0=p-o表示，分析对维修决策优化变量和优化目标的影响。数值实验的优化结果如表3～表7所示。

由表3可以看出，启动成本Cset的增加会导致相应的维修成本逐渐增加，机会和预防维修阈值相应增大，可以使得系统停机时针对多个部件选择一起维修方式，减少系统总的停机次数。

表3 启动成本Cset对各维修策略参数的影响

由表4和表5可以看出，当检测成本Cins和预防维修成本Cp越来越高时，系统的维修费用也逐渐增加，为了降低系统的维修成本，需要相应地减少检测周期，而为了保证系统正常运行，需要降低机会维修阈值，增加机会维修频率，降低部件故障率。

表4 检测成本Cins对各维修策略参数的影响

表5 预防维修成本Cp对各维修策略参数的影响

在表6中，机会维修成本Co的增加会影响系统的维修成本，同时，为了降低系统中部件的故障率，需要减少预防维修阈值，增加预防维修活动，降低系统检测周期长度，从而使维修费用最低。

表6 机会维修成本Co对各维修策略参数的影响

在表7中，随着故障后维修成本Cc的增加，减少系统的检测周期可以有效降低系统的维修费用。同时，为了降低部件故障率，必然要加大对部件的预防和机会维修，而较小的预防和机会维修阈值可以使部件提前进行维修活动，保证部件正常运行。

表7 故障后维修成本Cc对各维修策略参数的影响

6 结束语

本文针对劣化相同且为同类型组成的多部件系统，基于马尔可夫过程理论，在多部件系统的劣化状态空间划分建模的基础上，得到系统的平稳概率分布模型，采用半更新理论建立了以费用率最小为优化目标的维修决策模型，以风力发电机组为例，研究了风力发电机组的最优维修决策问题。数值实验中分别改变了检测周期和各维修阈值点，并验证了模型的正确性，算法优化得到了最优的检查时间和各维修阈值点，并分析了各维修费用对长期平均费用率的影响。建模及实验结果表明，本文所提出的劣化状态空间建模方法可以有效地表示多部件系统所有可能的维修需求划分，并按照联合状态空间的划分区域快速建立维修需求的概率计算模型，该模型对于实际的工业系统维修决策具有参考意义。

虽然多部件系统的维修决策问题逐渐成为学者们关注的热点，但是国内对于多部件系统的维修决策研究还需进一步探究完善。实际的生产系统也存在由不相同部件构成的复杂系统，因此，可以针对该类系统展开相关研究。同时，实际维修过程中还受到备件库存、人员配备等多方面的影响，制定系统维修与备件库存之间的联合策略也是下一步可以考虑的研究方向。