BBM方程的精确行波解研究

刘红霞,韩青秀,伍 芸,于亚峰

(贵州师范大学 数学科学学院,贵州 贵阳 550025)

0 引言

考虑如下的BBM方程

(1)

其中α，β，γ是常数。方程(1)是由 Benjamin等[1]于 1972年提出的一个正则化的非线性长波方程,该方程是一个改进的 KdV 方程。主要用于对(1+1)维上单向传播的小振幅重力波进行建模。文献[1-4]从不同方面对方程展开了研究并获得BBM方程在不同参数条件下的显示解。文献[5]利用符号计算得到了BBM方程丰富的行波解。目前求解非线性方程精确解的方法主要有首次积分法、动力系统分支理论[6-7]、各种函数展开法和辅助函数法[8-10]、齐次平衡法[11]。动力系统分支理论在我们的研究中起到非常重要的作用,获得的精确解不仅在物理科学中有着非常重要的作用，也有助于进一步了解该模型所描述的物理现象。而本文主要应用微分方程定性理论与动力系统分支方法，求解方程(1)的非线性行波解，并在不同的参数条件下，得到不同于文献[3]的行波解的精确参数表示。

为了研究方程(1)的非线性波,设c>0是波速,u(x,t)=φ(ξ),ξ=x+ct。将u=φ(ξ)代入BBM方程可得

cφ′+αφ′+βφφ′-cγφ‴=0

(2)

对(2)式两边积分可得

(3)

其中g是积分常数且g≠0。

令φ′=y,可得到下面的平面系统

(4)

其中k=c+α。

很明显,系统(4)是一个有着Hamiltonian函数的Hamiltonian系统

(5)

如果令

则我们有下面的结果：

当Δ>0时,f(φ)有2个零点φ1和φ2,它们的表达式为

(6)

当Δ=0时,f(φ)有1个零点φ0,它的表达式为

当Δ<0时,f(φ)没有零点。

利用微分方程动力系统的定性理论,我们有下面的结论。

1 BBM方程的行波解的精确参数表达式

命题1 在如下任一情形时：

1)g>0,γ>0,β>0,k>0;

2)g>0,γ>0,β>0,k<0；

3)g<0,γ>0,β>0,k>0；

4)g<0,γ>0,β>0,k<0。

(7)

(8)

其中

证明在(5)式中,令H(φ1,0)=h1,则有

(9)

由(4)式得

(10)

积分(10)式有

(11)

同理,在(5)式中,令H(φ2,0)=h2,则有

(12)

图和的轨道图

由(4)式可得

(13)

积分(13)式有

(14)

命题2 在如下任一情形时：

1)g>0,γ>0,β<0,k>0;

2)g>0,γ>0,β<0,k<0;

3)g<0,γ>0,β<0,k>0;

4)g<0,γ>0,β<0,k<0。

(15)

图和的轨道图

证明在(5)式中,令H(φ1,0)=h1,则有

(16)

由(4)式得到

(17)

同理,在(5)式中,令H(φ2,0)=h2则有

(18)

由(4)式可得

(19)

对(19)式积分得

(20)

命题3 在如下任一情形时：

1)g>0,γ<0,β>0,k>0;

2)g>0,γ<0,β>0,k<0;

3)g<0,γ<0,β>0,k>0;

4)g<0,γ<0,β>0,k<0。

(21)

其中

图和的轨道图

证明 在(5)式中, 令H(φ2,0)=h2,则有

(22)

由(4)式可得

(23)

积分(23)式得

(24)

同理,在(5)式中,令H(φ1,0)=h1,则有

(25)

由(4)式可得

(26)

命题4 在如下任一情形时：

1)g>0,γ<0,β<0,k>0;

2)g>0,γ<0,β<0,k<0;

3)g<0,γ<0,β<0,k<0;

4)g<0,γ<0,β<0,k>0。

证明在(5)式中,令H(φ2,0)=h2,则有

(27)

同理,在(5)式中,令H(φ1,0)=h1,则有

图和的轨道图

(28)