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四参数2×n 阶LC 矩形网络电特性的研究

2022-03-31罗礼进陈蜀媛罗烽华谭志中

广西物理 2022年3期
关键词:曲线图电阻方程

罗礼进,陈蜀媛,罗烽华,谭志中

(1.南通大学理学院,江苏 南通 226019;2.防城港市城市建设投资有限责任公司,广西 防城港538001 3.广西大学资源环境与材料学院,广西 南宁 530004)

0 引言

在科学研究及工程技术领域,许多实际问题可以通过构建电阻网络模型进行模拟研究[1-7],这已成为一系列科学问题研究的基本方法。随着电阻网络研究的发展,研究者已经建立了研究电阻网络的数个主要方法,如格林函数技术方法[1]、拉普拉斯矩阵方法[2]、等效变换方法[3]、递归—变换方法[4-7]等。其中的递归-变换方法具有更广泛的适用性,可适用于研究含有任意边界的有限和无限的电阻网络问题,弥补以往方法的不足[4-7]。

矩形电阻网络问题一直是电阻网络研究关注的热点之一,近年来取得较大进展,尤其在少参数(一个或两个)电阻网络问题得到了比较好的解决,如含有2参数的m×n阶矩形电阻网络的等效电阻问题[6]。在多参数电阻网络问题的研究上也取得一定的进展,如含有3参数的2×n阶纯电阻网络的等效电阻问题[5]。在复阻抗网络研究方面,少参数复阻抗网络的研究取得了一定的进展[7],但在多参数复阻抗网络方面少有研究。本文将以含有4参数的2×n阶LC矩形网络为例,研究多参数的复阻抗网络模型的等效复阻抗问题。

1 四参数2×n 阶LC 矩形网络的研究

我们称图1为一类含有4参数的2×n阶LC矩形网络模型,该模型包含有4个电路参数Ca、Cb、L、L0。本文将研究a、b两节点间的等效复阻抗Z ab(n)和a、c两节点间的等效复阻抗Z ac(n)的普适公式和基本特性。为解决此问题,依据上述的递归-变换方法,分建立差分方程模型、求差分方程模型的通解、求边界电流特解、计算节点间的复阻抗四个步骤进行。下面首先求解a、b两节点间的等效复阻抗Z ab(n)。

图1 含有4参数的2×n阶LC矩形复阻抗网络模型

1.1 建立差分方程模型

在图1所示的LC网络中,设输入电流的圆频率为ω,则电感L、L0的阻抗分别为z=jωL、,电容Ca、Cb的阻抗分别为,j2=-1。设电流I从a输入至b输出。不失一般性,选取图1所示网络中的任意子网络结构进行研究,如图2所示。设在第k个子网络中,水平方向的三个电感中通过的电流分别为Iak、Ibk、Ick(1≤k≤n),竖直方向的两个电容中通过的电流分别为Ik、(1≤k≤n+1)。各LC网络元中的电流方向如图2所示。

图2 子网络电流参数

在图2 的子网络中应用基尔霍夫电流定律得到节点电流方程

在图2 的子网络中应用基尔霍夫电压定律得到第k个回路的电压方程

同理得到第k-1 个回路的电压方程

取差运算,分别由式(4)-(6)和(5)-(7)得到

将式(1)、(2)、(3)分别代入(8)、(9)化简整理得

为便于研究,将方程(10)、(11)写成矩阵形式

方程(12)就是本文推导出的关键的差分方程模型,但是如何求解该方程是解决问题的关键。如果用传统的方法求解该方程是很困难的事情,本文将采用矩阵变换的方法解决该问题。

1.2 求差分方程模型的通解

为了求解差分方程(12)的通解,根据文献[3]的解法,先通过矩阵变换,将矩阵方程(12)变换为一个简单的矩阵方程,然后求此简单矩阵方程的特征方程的特征根,最后由特征根求出矩阵方程(12)的通解。

将方程(12)中Ik、的系数矩阵左乘一个二阶矩阵A,使得

其中设待定的二阶矩阵A为

并且其中λ1、λ2和t1、t2均为待定系数。将式(13)展开并且根据式(13)的矩阵左右相等得

把(16)代入(15)消去t得到

将矩阵方程(12)两边左乘矩阵A变换为如下成简单的方程

其中k=1,2,3……,且

由矩阵方程式(20)得差分矩阵方程的特征方程

设关于x的方程的两根分别为α、β,关于y的方程的两根分别为γ、δ,解(22)得到

根据文献[3]的解法,方程(20)的解为

1.3 求边界电流的特解

当电流从a输入至b输出时,根据电流的连续性方程由图3 可得

图3 边界网络电流参数

将式(25)分别对k从1 到n+1 求和并应用式(26)得

根据文献[3]的分析方法,由图3 得到边界电流参数方程

将方程(29)两边左乘一个前文已经求出的二阶矩阵A,并且应用式(18)、(19)的关系化简整理得

将式(31)分别代入式(27)、(28)化简整理得

第二,教学点逐步健全档案,完善制度。中心校的规章制度在教学点上墙,且各种计划及作息要和中心校要求保持一致。

式(32)、(33)即为4 参数2×n阶LC矩形网络中左边界的电流特解。

1.4 求等效复阻抗

又由图3 可知:Uab=I1za,根据欧姆定律

把式(34)代入(35)得到

其中α、β和γ、δ分别由式(23)、(24)确定。式(36)即为a、b二节点间的等效复阻抗Z ab(n)的普适公式。

用同样的方法可计算出a、c两节点间的等效复阻抗Z ac(n)。

其中α、β和γ、δ分别由式(23)、(24)确定,t1、t2由式(19)确定,。式(37)即为a、c二点间的等效复阻抗Z ac(n)的通项表达式。

2 等效复阻抗特性的讨论

特征方程(22)的判别式分别为

将(19)代入(23)、(24)得到

2.1 情形1:ω >(q > 0)

当ω>2q时,有 Δ1> 0,Δ2> 0。此时,α、β、γ、δ分别如(40)、(41)所示,均为实数,因λ1、λ2都是实数,所以由(42)可知Z ab(n)为纯虚数。

图4 是Ca=1.2 ×10-3F、Cb=4.7 ×10-3F、L=2.6 ×10-2H、L0=7.2 ×10-2H,且n分别取1 至50 时,Z ab(n)/ j 随ω(ω∈[300,30000])变化的三维曲线图。从图中可看出,n取不同的值时,Z ab(n)/ j 随ω的变化都有相同的趋势,即都随ω的增加单调增加,并且Z ab(n)/ j在低频区(ω∈[300,2300])的变化梯度较大,而在高频区(ω∈[2300,∞])的变化梯度较小。ω→∞时,Z ab(n)/ j → 0。

图4 Z ab(n)/ j 随ω(ω ∈[300,30000])和n(n∈[1,50])变化的三维曲线图

2.2 情形2:ω=(q > 0)

此时,Z ab(n)也为纯虚数。

图5 ω=时 Z ab(n)/ j 随n(n∈[1,50])变化的曲线图

2.3 情形3:(p >0、q >0)

将(48)代入(42)得

由此可见,Z ab(n)仍为纯虚数。

图6 是Ca=1.2 ×10-3F、Cb=4.7 ×10-3F、L=2.6 ×10-2H、L0=7.2 ×10-2H,且n分别取1 至50 时,Z ab(n)/ j 随ω(ω∈[90,290])变化的三维曲线图。从图中可看出,对应每一个n值,Z ab(n)/ j 随ω的变化不再是单调变化,而是在Z ab(n)/ j=0两则正负振荡变化。

图6 Z ab(n)/ j 随ω(ω∈[90,290])和n(n∈[1,50])变化的三维曲线图

图7 ω=时 Z ab(n)/ j 随n(n∈[1,50])变化的曲线图

2.4 情形4:ω=(p > 0)

而γ、δ仍为(46)、(47)所示,并有(48)的结果,所以将(48)、(51)代入(42)得

由此可见,Z ab(n)仍为纯虚数。

2.5 情形5:0< ω<(p > 0)

所以将(55)、(48)代入(42)得

由此可见,Z ab(n)仍为纯虚数。

图8 是Ca=1.2 ×10-3F、Cb=4.7 ×10-3F、L=2.6 ×10-2H、L0=7.2 ×10-2H,且n分别取1 至50 时,Z ab(n)/ j 随ω(ω∈[1,85])变化的三维曲线图。从图中可看出,对应每一个n值,Z ab(n)/ j 随ω的变化是在Z ab(n)/ j=0两则正负振荡变化。

图8 Z ab(n)/ j 随ω(ω∈[1,85])和n(n∈[1,50])变化的三维曲线图

3 总结

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