探究数列问题的致错根源

舒 静

(云南省曲靖市第二中学)

数列是高中数学知识的基本模块,主要涉及等差数列、等比数列的概念、性质问题,以及求与这两个数列相关的通项公式、前n项和问题.学生在解题中由于对相关概念的理解不全面,不注意公式应用的条件,以及n的范围等,易造成无谓失分.下面针对这些失分点举例分析,给学生提个醒,避免错误再次出现.

1 对数列概念的理解不充分

等差数列、等比数列是两个最基本的数列模型,高考中与数列有关的命题,大多以这两个数列或可以转化为等差数列、等比数列的问题为背景,因此我们要准确把握这两个数列的概念.

例1 已知Sn为数列{an}的前n项和,且Sn－Sn＋1＝an,则数列{an}一定是( ).

A.等差数列

B.等比数列

C.常数列

D.无法判断

剖析 等比数列的定义:从第二项起,每项与其前一项之比为常数.因其中涉及两数之比,故等比数列中不能有为0的项.本题中若an＝0,则Sn＋1,Sn均为0,满足Sn－Sn＋1＝an,此时数列{an}不是等比数列.故选D.

2 对数列的性质认识不全面

等差数列与等比数列有很多重要的性质,在某些问题的求解中,灵活应用这些性质可简化解答过程.但这些性质的成立是有条件的,如果解题中没有注意这些条件,往往会造成错误的判断.

例2 已知{an}是公比为q的等比数列,现有如下3个命题:

①若q＞1,则∀n∈N*,都有an＋1＞an;

②数列{an}的依次每n项之和仍为等比数列;

其中正确命题的个数是( ).

A.0 B.1 C.2 D.3

错解 在解答此题时,由于对等比数列的性质认识不全面,选择B,C或D 的学生大有人在.

剖析 对于①,等比数列的通项公式为an＝a1qn－1,其增减性除了和q有关外,还与首项a1的正负有关.当a1＞0时,若q＞1,{an}单调递增;若0＜q＜1,{an}单调递减;当a1＜0时,若q＞1,{an}单调递减;若0＜q＜1,{an}单调递增.故①错误.

对于②,依次每n项之和,即Sn,S2n－Sn,S3n－S2n,…,其为等比数列的条件是Sn≠0.若Sn＝0,则这一性质不成立,如数列1,－1,1,－1,1,－1.故②错误.

3 忽视公式成立的条件

剖析 本解法的错误之处就是在利用等比数列求和公式时,未能对q≠1及q＝1进行讨论,从而出现错解.

由2Sn＝Sn＋2＋Sn＋1,即2Sn＝(Sn＋an＋1＋an＋2)＋(Sn＋an＋1),容易得到2an＋1＋an＋2＝0,故q＝－2.

4 忽视n 为正整数的限制

数列可视为以n为自变量的函数,因此某些数列问题可类比函数进行处理,但要注意与函数不同的是数列中的n的取值为正整数,若忽视这一性质,则可能在解题时出现错误.

5 忽视结论成立的充分性

6 忽视n 的范围

通常情况下数列中n的范围是正整数,但在某些关系式的限制下,n的范围并不是所有的正整数,此类问题的求解中要注意考虑n的范围.

例6 在数列{an}中,a1＝1,an＝a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1,则数列{an}的通项公式为_________.

7 求和时对项数的统计出错

无论是等差数列还是等比数列,在求某些项的和时,除了要知道公差或公比外,还要知道具体的项数,而对某些数列求和时,其项数并不易直观判断,学生在解题中常出现项数统计出错的情况.

8 在求Sn 的最值问题中忽视零项的存在

以等差数列为例,若公差d＜0,则其前n项和有最大值;若公差d＞0,则其前n项和有最小值.对于取得最值时n的值为多少,若忽视为0的项的存在,则易出现漏解的情况.