数列求和模型的探究与应用

高成龙

(天津外国语大学附属外国语学校)

数列是高中数学中的重要知识,其中《普通高中数学课程标准2017年版2020年修订》在数列部分指出:一方面,要培养学生从实际问题抽象出数列模型的能力;另一方面,要体现数列是一种特殊的函数,通过列表、图像、通项公式表示数列,将数列融入函数中.因此,学习数列可以培养学生的数学建模能力,另外它独特的递推关系又可以培养学生的数学抽象、直观想象与逻辑推理能力.(an2＋bn＋c)·qn型数列涵盖了高中学习的等差数列、等比数列、差比数列、{(－1)n·(an2＋bn＋c)}型数列.本文利用特殊到一般的思想,对(an2＋bn＋c)·qn型数列中的a,b,c,q进行分类讨论,依次得到了以上数列的求和模型,最后给出一般的(an2＋bn＋c)·qn型数列求和模型.

1 等差数列求和模型

需要说明的是常数C,B的形式复杂,不要求强制记忆,解题时可根据S1,S2利用待定系数法求得.

2 等比数列求和模型

当a＝b＝0,c≠0时,an＝c·qn,此时{an}为等比数列,下面给出等比数列求和模型.

模型2 设{an}是首项为a1,公比为q(q≠1)的等比数列,则数列{an}前n项和模型为Sn＝Aqn－A,其中常数A可以由a1,q唯一确定.

3 差比数列求和模型

4 (an2＋bn＋c)·(－1)n(a≠0)型数列求和模型

当a≠0,q＝－1时,an＝(an2＋bn＋c)·(－1)n(a≠0),下面我们探究该类型数列的求和模型.

模型4 若数列{an}满足an＝(－1)n·(an2＋bn＋c),则{an}的前2n项和模型为S2n＝2an2＋(a＋b)n.

5 (an2＋bn＋c)·qn(a≠0,q≠1)型数列求和模型

模型5 若数列{an}满足an＝(an2＋bn＋c)·qn(a≠0,q≠1),则数列{an}的前n项和模型为Sn＝A＋qn(Cn2＋Bn－A),其中A,B,C为待定系数,可以利用a1,a2,a3求得.

证明an＝(an2＋bn＋c)·qn＝aqn2·qn－1＋(bn＋c)·qn.

由模型3-1得数列{(bn＋c)·qn}的前n项和为An＝A1＋qn·(B1n－A1).

(an2＋bn＋c)·qn型数列求和模型Sn＝A＋qn(Cn2＋Bn－A)是一个通用模型,它是数列求和模型的纽带,利用该模型能研究等差数列、等比数列、差比数列等系列数列的求和问题.总之,利用数列求和模型求解数列前n项和将数列求和问题转化为方程组的求解问题,体现了系列问题模型化、抽象问题直观化、复杂问题简单化的数学思想.作为教师,我们在教学中要善于总结规律,要鼓励和引导学生建立一些常见的数学模型并能通过数学模型求解问题,让学生亲身经历将数学问题抽象成数学模型并应用的过程,让学生从中获得知识的同时发展思维能力、情感态度与价值观.另外在教学中我们提倡模型多元化,对于同一问题可以选择用不同的模型去求解,这一过程可以培养学生根据问题特点及运算的条件合理选择运算方法的能力,进一步提升学生的数学运算素养,培养学生勇于创新的精神.