一道不等式问题的解法探究

朱 琼

(甘肃省酒泉卫星发射中心东风中学)

高中数学不等式知识是高等数学数学分析和实变函数等学科的基础,是高中数学主干知识之一,也是高考重点考查的内容.因此,在平时的学习中,学生有必要对经典的不等式试题进行多解探究,以期提升数学学科核心素养.本文对一道不等式问题进行多解探究.

画出g(x)的图像,如图1所示.

令g(x)＝10,得x＝－2或2.结合图像可得不等式f(x)＋|x－1|≤10的解集为{x|－2≤x≤2}.

以下着重对这道试题的第(2)问进行多解探究.

(2)方法1

图1

本解法运用了三角换元法,由待求式子联想到三角函数的平方关系式,再分离出r.最后结合三角函数的最值和已知条件求出r的最小值,从而求出a2＋b2的最小值.

本解法用b表示a后,代入a2＋b2＝t,整理后将其看成以b为主元的二次方程,根据方程有实根,则判别式大于或等于0,得出t的最小值,从而得出a2＋b2的最小值.

由已知条件联想到直线方程,由a2＋b2联想到直线上的点与坐标原点的距离的平方,再由点到直线的距离公式可以求出d的最小值,从而求出a2＋b2的最小值.

本题先用b表示a,再代入a2＋b2,最后利用二次函数的最值求出函数f(b)的最小值.

本文利用高中数学中学习过的柯西不等式、三角函数、向量、一元二次不等式以及距离公式等对例题进行多解探究,体现了数学知识的综合性,创新了试题的解法.多解探究可以引发学生学习兴趣,培养数学运算和逻辑推理的数学素养.下面给出3道练习题供读者参考.