建构核心概念，促进理解与迁移

叶鸿琳

落实立德树人根本任务，培育学生学科核心素养，关键在课堂教学的改革。以本次高中课程改革为例，“重视以学科大概念为核心，使课程内容结构化，以主题为引领，使课程内容情境化，促进学科核心素养的落实”，是本次高中课程改革的重要目标，从中可以窥探未来小学数学课程改革的方向，即以学科“大观念”为引领的“单元整体教学”研究。而关于“大观念统领下单元整体教学”的实践研究在天津已经进入第4年，从2019年的加减法到2022年的乘除法，我们团队以计算教学为切入点，对单元整体教学中“大观念的确定”与“实施策略”进行了初步探索与反思。

伴随研究的深入，我们更加坚信“重视知识结构的力量，重视理解水平的刻画，关注迁移的路径”对于数学学科素养的落实具有重要的意义与作用，其中数学学科本身的“代表性概念”的建立，以及概念与概念之间联系的建立对于学生整体把握学科知识体系具有关键作用。因此，从知识本质的宏观视角下对单元内容进行整合与重构，凸显结构的力量，从TUK目标评估的微观视角下进行活动设计，清晰呈现认知表征，从而促进理解与迁移的发生，提升学生自主学习能力。

一、单元整体教学重视核心概念的自主建构

随着“大观念统领下的单元整体教学”研究的深入，关注知识本质的内在结构，整体迁移认知策略，重视学生理解水平的刻画，促进自主学习能力的提升，成为当前小学数学教学方式改革的新方向。特别是小学阶段一些“代表性概念”的建立，以及建立概念与概念之间的联系，对于学生整体把握学科知识体系与主动迁移认知经验具有关键作用。一方面，从广义的视角来看数学学科的概念、思想、方法都可以称之为“大观念”;另一方面，“大观念”也可以狭义地理解为“代表性概念”或“核心概念”，因为“如果一门学科有某些特色概念可以代表它，那么彻底地理解这些概念就等于获得整个学科的知识;如果一门学科的知识是按照某些模式而组织，那么完全理解这些模式，足以使得许多符合学科设计的特定要素变得清晰。”因此，可以说“代表性概念”的理解与迁移是推动学生自主学习的关键因素，是学生在面对陌生、复杂问题时所表现出的寻求解决问题策略的能力，这种能力就是我们所认同的自主学习能力，就是数学学科的核心素养。因此，单元整体教学应重视核心概念自主建构的过程，关注核心概念理解与迁移的路径。

二、核心概念内在结构支撑理解与迁移

以人教版五年级数学上册第一单元《小数乘法》为例，从运算教学的角度思考“小数乘法”教学，“运算意义”一定是核心概念，因为基于运算的意义可以形成多样化的“算法”，而支撑不同“算法”的“算理”又会回归到相同的运算意义，所以搭设“整数、小数”乘法意义理解与迁移的路径是本单元教学的核心任务。

现实中虽然“小数乘法的意义”是单元教学中的核心概念，但在实际教学中教师很可能更关注学生是否能正确进行计算，而忽视组织学生感悟运算意义的活动。在原始学习路径中从“整数乘法”到“小数乘整数”，可以通过“乘法就是求几个相同加数和的简便运算”的本质进行类推迁移。但在从“小数乘整数”到“小数乘小数”阶段，学生很可能会因第二个因数是小数产生认知偏差，从而可能无法进行类推迁移，降低对“小数乘法”的理解水平。究其内因是对“小数意义”的理解不足，不能从单位度量的角度理解乘法运算。因此，面对像“0.1×0.1=？”这样的问题，学生只能通过不完全归纳法或合情推理得到其结果是0.01，而不能从本质上理解0.1×0.1是单位细化的结果。

因此，在进行本单元整体教学时，需要在“小数乘整数”与“小数乘小数”两个学习主题之间新增“整数乘小数”的学习主题，可以通过证明“一个不等于0的数乘大于1（或小于1）的数，积比原数大（或小）”的学习活动，在验证猜想的过程中将对“小数乘整数”的认知拓展到“整数乘小数”，同时借助数形结合思想加深学生对“计数单位与运算意义”的感悟，为后继学习“小数乘小数”搭设新的认知路径。

三、核心概念的建构需要从“知道”走向“理解”

单元整体教学中对核心概念的教学需要厘清理解与知道的区别。举个例子，学生能正确并熟练计算小数乘法，能否证明他们理解了小数乘法，或者说我们是否能单纯地通过计算的正确率、速度、灵活度等评估学生的理解水平？

比如，现行教材中“小数乘小数”部分，在主题图中有两个学生提出了问题。

很明显这两个问题的答案停留在“知道”层面。在以前的教学中，我们时常看到学生可以想到运用积的变化规律进行转化，甚至很可能通过在小数乘整数时强化算法，学生能独立解决。学生也能在本课后归纳出小数乘法可以转化成整数乘法，从而建立小数乘法与整数乘法之间的联系。但这种联系能否促进学生理解水平的生长？实际上这种生长很可能是“知道”的扩展，并不是“理解”的生长。造成这种倾向的问题在于评估的指向，因此，在进行单元整体研究时，教师需要首先确定“学生需要的理解是什么”和“学生会理解到什么水平”，即：在运算的学习中，运算的意义、算理与算法、运算的性质与规律是稳定的，因此，在遇到新学习情境中，需要寻找相关的代表性概念，并进行关联，从而解释新问题。

四、核心概念的迁移需要从“近点”走向“远点”

其实重视学生在认知时的迁移能力，并不是单元整体教学独有的特征，但单元整体教学是唯一将迁移能力作为教学目标的一种教学。评估学生的学科素养可以从结构、理解、迁移三个维度进行测量，“学科内部结构”是相关概念组成的知识串或者是知识群，它的数量是有限的。“对概念本身及其之间联系的理解水平”和“学习时所发生的对已有理解的迁移”是两个隐性的变量，特别是迁移能力在常规评估中很难刻画，更容易为了追求迁移的效率而产生偏差，如下图所示。

依据教学心理学原理，在日常教学中教师习惯运用“温故而知新”的策略，通过课前导入阶段的复习唤醒学生已有的相关认知经验，助推新知的迁移。比如，学生可以通过对小数乘整数的复习，自主迁移尝试理解小数乘小数的问题，但在小数除法时，很多学生在学习完除数是整数的除法后，却不能有效建立与除数是小数的除法之间的迁移路径。产生这种迁移差异的原因在于这种服务一节课知识点的迁移属于“近点迁移”方式，它主要服务于解决单一问题的迁移，在降低学生迁移难度的同时，也削弱了整体性迁移的力量。这种过于优化的迁移路径，在提高迁移效率的同时，限制了学生迁移能力的成长。而教师期待的迁移其实是一些超越学习内容的迁移，比如研究路径、研究方法、研究工具的迁移，可以理解为“远点迁移”，这种迁移能力是学生解决后续陌生问题的关键能力。

因此，在单元整体教学视角下的运算教学，是基于对数的认识和对运算本质的理解，用相似的研究路径整体考虑小学一至六年级运算教学的单元架构，在设计单元教学时，一方面强调对新问题的追本溯源和未知问题的潜在联系，另一方面强调在面对新问题时学生多样化和个性化的感悟与体验，是在此基础上发现本质联系，进而进行迁移路径的优化。举个例子，对整数乘法、小数乘法、分数乘法，学生的认知建构过程应该是相似的，研究方法更是可以遷移的，同理，乘法的学习与除法认知过程也应该是可以迁移的，这种“整体迁移”不再将视角局限于某一个知识点与另一知识点之间的联系，而是超越知识的学法迁移。

（左毓红）