“量”“率”均衡 通透分数中的关系

华春红

【摘  要】分数不同于一般的数，因为其有“量”和“率”双重身份。但在教学时，教师对分数的“身份”的理解和关注程度参差不一，难免会出现偏废现象，使学生分数学习出现一定的困难，使学生对分数的特殊性难以理解，而无法透彻理解分数的意义。对此，教师在进行教学时，应对分数所代表的“量”和“率”之间的关系进行深度剖析，在充分理解“量”和“率”的意义的基础上，将“量”和“率”均衡发展、融合贯通，用“关系”建立关系，让学生将分数学通透。

【关键词】“量”;“率”;分数;关系

“分数”是“数与代数”领域的核心内容之一，同时也是难点内容。关于分数的教与学，可谓“百家争鸣”，著名教育家叶圣陶先生说的“教学有法、教无定法、贵在得法”，主要表达的是，对众多的教学方法我们不能全盘照抄，只有适合的才是最好的，说得通、理得顺，能发展思维就是我们追求的目标。对此，作为一线教育工作者，更应注重“因材施教”，尊重学生的个性差异，考虑到其能力发展现状，选择适宜其进行分数学习的教学策略，以引导其同样能找到适合自己的学习方法。除此以外，特级教师许卫兵说“数学是一门关系学”，我尝试对这句话进行思考和解读，与之相关的问题层出不穷地在我脑海里翻涌：分数作为“率”就是一种关系，那么作为“量”呢？两者是否可以异中求同呢？作为“量”又是如何产生的呢？……带着这些问题，抓住“关系”这一关键词，我开启了对分数作为“率”和“量”时方方面面的研究之旅。

一、教材内容分析

五下《分数的意义和性质》教材安排为两个主体部分：一是分数的意义，二是分数的基本性质。在此之前，学生在二年级学习过“平均分”可以用除法来计算;三年级初步认识了分数，知道把一个物体、一个图形或者由几个物体组成的整体平均分成几份后，其中的一份或几份可以用几分之一或几分之几来表示。在此之后，学生还将继续学习分数的四则运算、混合运算以及简便运算，学习依据分数知识解决相关的实际问题，理解百分数的意义。就本册教材来看，共116页，与分数学习有关的从第52页开始到第84页结束，占到总页数的近三分之一，其重要性不言而喻;就整个小学阶段学习来看，本单元的学习承上启下，是学生建立分数知识结构的重要一环。通过这部分的学习，学生脑中的数系得到扩张，由整数到小数再到分数，这之间的联系和区别需要厘清，同时要学会解决生活中的相关实际问题，从而有效提升他们的抽象思维水平，更好地实现对现实生活中的数量关系的进一步理解和运用，提升其数学综合素养。

二、教学现象解读

分数难，难在什么地方呢？究其原因则是分数本身的特殊性，它既可以作为“率”又可以作为“量”，多重身份常常让学生遇到分数如坠云雾里，导致其在学习中，容易进入被动学习的状态，从而难以实现思维的有效运转。在实际教学中，我们常常会出现以下一些现象：

（一）重“分数定义”轻“分数单位”

翻开各大版本的教材，给分数的定义基本相同：“把单位1平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数，叫作分数”，然后接下来基本上會继续要求学生认识分数单位。教学时，教师会花相当大的精力，让学生描述一个分数是如何得到的。与此同时，教师还会把三年级习惯描述的“取这样的几份”纠正为“表示这样的几份”，为学生后续的假分数学习做准备。而教师对 “分数单位”的认识教学只是一带而过，甚至可能就是直接告知，不给学生回顾、思考或是质疑的机会。本来对于概念教学，在教师的教学认知中，似乎就是让学生知道一个已经约定俗成的知识，没有可以探索的空间，所以造就了重“分数定义”轻“分数单位”这种现象。这样教学所产生的弊端在第一课时或者短期内都不会轻易被发现，但当遇到用分数来计数、分数加减法、解决分数实际问题等学习要点时，“分数单位”的地位又瞬间提升，这时可能又要将“分数单位”再强化。经历了这样“被打断”到“再回顾”的过程，大部分学生更容易产生混乱的学习思绪，从而使其在学习分数时，形成一定的学习焦虑，导致其跟不上教师的“节奏”。分数教学的“地基”都未打牢，却妄想加盖“一栋高楼”，这便是数学教学中的“大忌”，基于此，分数教学“难于上青天”便被坐实了“罪名”。

（二）重“率”轻“量”

上文中已经提及分数的定义，从定义中我们很容易看出该定义刻画的是“部分与整体”或者“部分与部分”的倍比关系，也就是作为“率”在学习。回顾三年级学习分数时，学生就会比较同分母分数以及分子是1的异分母分数的大小，既然可以比较大小，那就表明确确实实代表的是一个“量”，但在实际教学时，我们又甚少涉及“量”的体现，我们有重“率”轻“量”的嫌疑。张奠宙教授也在《小学数学教材中的大道理》中提出“分数是用来比较大小的，为什么要回避呢？”分数的产生，实质是数系的扩展，也就是说，分数和整数一样都具有数的本质特征，都可以表示物体（数量）的大小，对于“量”和“率”，对此，反思我们一贯的教学走向，应当认识到两者是同等重要的，缺一不可。因而为了学生能够实现高效学习，我们更不能厚此薄彼。

三、教学策略构建

直面以上问题，思考分数的教学显得很有必要。我们常说数学真奇妙，关系最重要。构建分数教学策略，笔者尝试在整体建构教学理念的指导下，把握关系建构整体、借助整体明晰关系，并妥善引导作为学习主体的学生，在学分数时能理顺关系建立联系、培养发展关系思维，这样面对分数时不再望而却步，反而能增强其学习自主性。

（一）深入教材研读，把准概念教学，夯实“率”的认识

分数的认识在小学阶段一般都分成两步走，第一次学习是在三年级时对分数进行初步认识，那时的学习多是以分物体，如“分蛋糕”“分大饼”等开始的，借助生活中的直观模型帮助学生理解分数所呈现的部分与整体的关系，也就是“率”的认识，这时可谓“知其然”。而到了第二个分数学习阶段，学生的理解能力和思维能力的发展，均已呈现上升的趋势，因而安排五年级学生学习的是分数的意义，在第一阶段的基础上，进行了内容和知识应用等方面的“升级”，要求学生将前一阶段所学知识与这一阶段需要学习的内容联结起来，从而实现其对“分数”学习基础的加固，促进其提升对新知识的学习把握度，这应谓之“知其所以然”。这时的一个物体、一些物体、一个图形、一条线段等都可以看成是一个整体，即生成“单位1”，谁作为“单位1”，这既是认识分数的核心，也是认识分数的难点。

实际教学时，要做好教材前后内容的衔接，既要做到不重复简单、基本的知识点的讲解，也要保证新知与旧知之间不断层。比如利用直观图形认识分数是三年级的学习内容，可以画但没有必要反复画，避免造成课堂时间不必要的浪费。而五年级的学习追求的是从具体走向概括，从具体的实物走向概括的定义，这于学生而言，在知识认知上将会产生“质”的飞跃。对此，教师应当设计好两者相关的问题，将学生的数学思维从表层带入深层。“同学们所画出的图形都可以用3/4来表示（图1、图2），我们都会描述3/4，你能用一句话把所有的分数都概括出来吗？”在教师问题的引导下，很多同学想到我们学过用字母表示数，“把单位1平均分成m份，表示这样的n份，就用分数n/m来表示。”经历这样的问题探讨，学生的思维就进行了一次跨越，从具体走向抽象，建立起前后知识间的联系与生长，准确把握分数的定义，同时提升了语言表达能力。

（二）利用认数经验，体验数系扩展，建立“量”的地位

华罗庚曾说过，数起源于数，量起源于量。华应龙又说过，分数就是先分后数的数。基于名人大家对分数的理论分析，笔者不由得陷入深思：分什么？数什么？分数从属于“数”的范围我们不可且无法回避，比大小、分数计算中的分数都是被作為“量”来看待的。我们在对分数作为“量”时进行深度认识之时，可以通过将其置身于学生已有的认数体系中，要求和引导学生从组成、读写、大小、应用等方面进行学习，利用前后知识间的结构、已经形成的认数经验对分数进行掌握、理解与应用。

提及计数，就需要计数单位，分数的计数单位和之前学生所接触的计数单位有所不同，这又是一次跨越。以前不管是整数还是小数，我们多用“十进制”来计数，而分数需要创造分数单位，分数单位之间没有固定的进率，大小相同的分数也可以用不同的形式呈现，分数单位都是不同的，个数是无限的，这也是造成学生不习惯分数是“数”的原因。由此，我们也可以看出“分数单位”的重要地位。“分数是先分后数的数”，分的是“单位1”，根据现实情境确定将“单位1”平均分成若干份，也就产生了合适的分数单位，再数有多少个分数单位，这样我们就可以很好地将分数理解为分数单位的累加。如图3所示：图中的分数3/4用来表示，计数单位是1/4，也就是3个1/4的累加。至于分数的读写、大小以及应用，我们都可以借助于头脑中已经形成的认数经验进行迁移。

（三）“量”“率”整合，分数就是一种“关系”

关系的正常表现是两个或者是几个元素之间的，当分数作为“率”时，我们很容易看出是“部分和整体”或者“部分与部分”这两个元素之间的，而当分数作为“量”时，我们是否能从中也能找到关系的存在？异中求同，将两者统一起来更深入地理解分数呢？

分数和除法都是以“平均分”为出发点的，在学习分数与除法的关系时：把3块饼平均分给4个小朋友，每人分得3/4块饼，这里的3/4块我们既可以理解为把1块饼平均分成4份，表示这样的3份，也就是1块饼的3/4（图4）;也可以理解为把3块饼平均分成4份，表示这样的1份，就是3块饼的1/4（图5）。这样的理解不带量纲，实质又回归到了部分与整体的关系，也就正如许卫兵所说的“量”的表现归根也是一种关系，带着这样的学习深度，对于分数的认识应该会通透。

综上所述，“量”的意义与“率”的意义是分数意义的两个方面，不可偏向于任一方面，要能做到均衡发展。而“量”和“率”在根本上又有着共通之处，借用“关系”联结起分数知识间严密的逻辑体系，用旧知迁移新知，发展数系结构，实现学生的思维“自能化”，能够让分数学习更有趣，让学生与分数更亲近。

【参考文献】

[1]华应龙.我不只是数学[M].北京：中国人民大学出版社，2018：176-201.

[2]许卫兵.数学是一门“关系学”——基于整体建构的视角[J].小学教学参考，2020（9）：1-3.