“三角函数的概念”教学实录

李晓珊，田 颖

（石家庄市第二中学，河北 石家庄 050000）

三角函数是一种重要的基本初等函数，用来刻画周期变化现象。基于学生已有的学习函数的经验，通过类比，探索学习三角函数时的研究路径。基于此，本节课是在函数一般概念的基础上，分层次、分角度循序渐进地让学生理解任意角三角函数的定义。

本节课的第一个思考点是让学生寻求合适的量来刻画单位圆上运动的点的位置变化。这个思考点的设置有两个优点：一是从周期运动的背景中生成问题，从数学史的发展来看，任意角三角函数与圆周运动有直接关系，这种设计合理且不失一般性；二是学生刻画位置的方式往往采取角和坐标两种方式，这是体现数形关系的入口。

任意角三角函数的概念的教学过程中，首先明晰角的弧度数与点的横（纵）坐标之间的对应关系为函数关系，直接给出正弦函数、余弦函数的概念。之后，又抓住“对应关系”，并让学生探究锐角三角函数和任意角三角函数的关系，进而进一步理解三角函数定义。

理解好“对应关系”，是学生学习三角函数定义时的一个难点，因为这与学生已有的经验不同，这种差异造成了学生的认知障碍。为了突破这个难点，课堂采取比较、分析的方式是较为合适的。引领学生再认识前面学过的基本初等函数的对应关系，发现其解析式都有明确的运算含义。在此基础上，进一步理解三角函数中的对应关系不以“代数运算”为媒介，是“a与y，a与x，a与的直接对应”。虽然a、x、y都是实数，但实际上是“几何元素间的对应”。

锐角三角函数和任意角三角函数的关系的研究，是借助某例题中求的三角函数值引出的，设计非常巧妙。由于的三角函数值在初中已非常熟悉，有些学生直接写出的正弦值、余弦值和正切值，有些学生通过找到终边与单位圆交点的坐标求得的三角函数值，两种做法自然地引发思考：初中学习的锐角三角函数和任意角三角函数之间有什么联系和区别？结合数学史让学生了解两者产生的背景不同，功能性质不同。在此过程中不仅明确了锐角三角函数和任意角三角函数之间的联系和区别，也进一步渗透了三角函数与周期运动的联系。

课本中任意角的三角函数的定义是“单位圆定义法”，即角的终边与单位圆交点的纵坐标、横坐标分别对应角的正弦值和余弦值。由于当角确定时，正弦值、余弦值也随之确定，那么已知角的终边上任意一点的坐标时，如何求出该角的三角函数值呢？这个问题的探究，一方面可以借助平面几何中三角形相似的知识进一步落实“单位圆定义法”，另一方面这实质上是任意角的三角函数的“终边定义法”。

具体教学设计见下：

一、教学内容和内容解析

（一）内容

单位圆上点的运动规律；三角函数的概念；与锐角三角函数的联系与区别。

（二）内容解析

一直以来，人们习惯于把三角函数看作锐角三角函数的推广，而事实上，锐角三角函数的研究对象是三角形，是三角形中边与角的定量关系（三角比）的反映。而任意角三角函数的现实背景是周期性的变化现象，是“周而复始”变化规律的数学刻画。如果以锐角三角函数为基础进行推广，那么三角函数概念发生发展过程的完整性将受到破坏。因此，整体上，任意角三角函数知识体系的建立，应与其它基本初等函数类似，强调以周期变化现象为背景，构建从抽象研究对象（即定义三角函数概念）到研究它的图象、性质再到实际应用的过程，与锐角三角函数的联系可以在给出任意角三角函数定义后再进行探究。

一般地，概念的形成应按“事实——概念”的路径，即学生要经历“背景——定义——表示——应用”的过程。

二、目标和目标解析

（一）目标

1.通过实际问题，使学生认识到定义具有周期性的函数的必要性。

2.经历抽象出三角函数定义的过程，理解任意角三角函数的概念，发展数学抽象的素养。

3.能利用定义，求出特殊角的三角函数值，并从中体会数形结合思想。

（二）目标解析

实现以下三点以达成目标：

1.学习任何函数都要了解其现实背景，学生要知道三角函数是刻画现实世界中周期性变化规律的数学模型，匀速圆周运动是体现周期性变化现象的典型代表。

2.课堂上首先由生活中的周期现象引入，再从中选取圆周运动，不失一般性，关注单位圆上点的运动，从而抽象出了研究的问题：单位圆O上的点P以A为起点作逆时针方向旋转，建立一个数学模型，以刻画点P的位置变化，

3.学生能找到用什么量来刻画单位圆上点的运动，并能分析出这些量的相互关系，最后抽象出三角函数的定义，并能够利用定义求出给定角的三角函数值。

（三）教学重点、难点

重点：借助单位圆上点的圆周运动理解任意角的正弦、余弦的定义；能根据定义求特殊角的三角函数值。

难点：寻找到刻画单位圆上点作圆周运动的变量，并抽象概括出函数。

三、教学问题诊断分析

（一）学生已有认知基础

三角函数概念的学习，学生的认知基础是函数的一般概念以及研究幂函数、指数函数和对数函数的经验。本章起始关于任意角和弧度制的学习也为学生学习任意角的三角函数奠定了基础。另外还有圆的有关知识。这些认知准备对于分析“周而复始”变化现象中涉及的量及其关系和认识其中的对应关系并给出定义等都能起到思路引领作用。

（二）学生学习中的困难

前面学习的基本初等函数，解析式都有明确的运算含义，在三角函数中，对应关系不以“代数运算”为媒介，是“a与y，a与x，a与的直接对应”。虽然a、x、y都是实数，但实际上是“几何元素间的对应”。因此三角函数中的对应关系，与学生的已有经验距离较大，因此产生了学习的难点：分析哪些量刻画单位圆上点的运动，理解三角函数中自变量与函数值是如何对应的及其定义方式。

（三）教学策略分析

为了破除学生在对应关系认识上的定势，帮助他们搞清三角函数的三要素，应该根据一般函数概念引导下的下位学习的特点，先让学生明确“给定一个角，如何得到其终边与单位圆交点的横、纵坐标”的操作过程，然后再下定义。这样可以自然引入三角函数的定义，并且还可以使学生又一次认识到一般函数概念的本质。具体操作时，可以设计任务，先让学生完成“给定一个特殊角，求它的终边与单位圆交点的坐标”，例如，当a=时，让学生找出相应点P的坐标，并体会到点P的坐标的唯一确定性；教师借助信息技术来展示，让学生观察，给定任意一个角a∈R，其终边与单位圆的交点坐标是否唯一，从而为理解三角函数的对应关系奠定基础。利用信息技术可以帮助学生更好地理解三角函数的本质。

四、教学条件支持

为了准确把握定义，学生首先要直观感受到角的终边与单位圆交点的坐标随角的变化而变化，需要利用信息技术建立任意角、角的终边与单位圆的交点这两个几何量之间的关联，进而再关注到角的弧度数与交点横、纵坐标值这两组代数量之间的对应关系。教学中，可以动态改变角a的终边OP（P为终边与单位圆的交点）的位置，引导学生观察OP位置的变化所引起的点P坐标的变化规律，感受三角函数的本质，同时感受终边相同的角具有相同的三角函数值，以及各三角函数在各象限中符号的变化情况。

五、教学实录

（一）创设情境

教师展示课件中的图片，让学生感受到生活中有很多循环往复、周而复始的变化现象，而我们知道的指数函数、对数函数等都不能刻画这种运动变化。

设计意图：让学生初步感受周期现象，激发学习兴趣。

（二）分析具体问题，归纳共同特征，给出三角函数的概念

问题：单位圆O上的点P以A点为起点做逆时针方向旋转，如何刻画点P的位置变化？

生1：可以用∠AOP（记为a）的大小变化来刻画点P的位置变化.

生2：可以以圆心O为原点，以OA所在直线为横轴建立坐标系，然后用点P的坐标来刻画点的位置变化.

师：（追问）既然角a和点P的坐标都可以刻画点P的位置变化，那么a与点P的坐标之间有什么关系.

生：通过几个特殊角发现，当a确定时，点P的坐标是唯一确定的.

师：（教师通过几何画板演示）发现对于任意的角a，点P的横坐标x、纵坐标y都是唯一确定的，教师提炼呈现概念，得出三角函数的定义，并引导学生体会三角函数的这种对应与以往的函数有所不同，不是通过运算建立的对应，是自变量a与函数值之间的直接对应，然后引导学生探讨函数的定义域。

设计意图：引导学生自己发现用函数的模型刻画点P的变化规律的必要性与合理性，并得到由单位圆定义的三角函数概念。

（三）任意角三角函数的初步应用

师生活动：先由学生发言，再总结出从定义出发求三角函数值的基本步骤，并得出答案。

设计意图：明确用定义求三角函数值的基本步骤，进而进一步理解定义的内涵。并希望学生发现三角函数和初中学习的锐角三角函数之间似乎有某种联系，自然引出下一环节的思考问题。

（四）任意角三角函数与锐角三角函数的联系与区别

师：通过例1，你有什么感悟和体会？

师：那我们来探究一下：

如图，设x∈（0，），把按锐角三角函数定义求得的锐角x的正弦记为z1，并把按本节三角函数定义求得的x的正弦记为y1，z1与y1相等吗？对于余弦、正切也有相同的结论吗？

生：通过小组讨论，由学生展示结论，发现求得的值是一致的。

设计意图：使学生体会在求锐角的三角函数值时，利用锐角三角函数与利用任意角三角函数是一致的。教师再介绍，实际上它们是有区别的，它们的研究对象不同，表现的性质也不同，任意角三角函数与圆周运动有直接关系，是研究现实世界中周而复始变化现象最有表现力的函数；而锐角三角函数的目的在于解三角形和三角计算，更侧重于度量。

（五）进一步应用定义，体会由角的终边上任意一点也可以算出三角函数值

例2.如图，设a是一个任意角，它的终边上任意一点P（不与原点O重合）的坐标为（x，y），点P与原点的距离为r.

生：独立思考后小组讨论，得出结果，并找学生独立展示。

设计意图：通过本例使学生认识到，知道角的终边上任意一点，就可以求出三个三角函数值，这与利用单位圆上的点的坐标定义三角函数是等价的。

（六）小结、提升

教师总结三角函数概念的形成过程，是在一般函数概念下的特殊化，但不以代数运算为媒介，是a与x、y、的直接对应，定义来源于圆周运动，它能清楚地反映出周而复始的变化规律。然后启发学生利用定义及圆的几何特征，课下思考有关三角函数的更多内容。

设计意图：再次回顾三角函数定义的过程，体会这是函数的“下位概念”，并启发学生思考，为后面同角三角函数关系、诱导公式以及三角函数性质的学习做铺垫。

在高中数学课程中，三角函数的内容安排在必修课程“主题二 函数”中，与“函数的概念与性质”“指数函数与对数函数”“函数的应用”视为一个整体。本章学习的认知基础主要是几何中圆的性质，以及前面建立的函数的一般概念。研究三角函数要利用单位圆这一工具，单位圆直观的几何特征可以帮助学生更好地理解三角函数的概念，这一过程有利于直观想象素养的发展。三角函数作为重要的描述周期现象的数学模型，与其他学科有紧密联系，可以发展学生的数学建模素养，因此，通过本章的学习，可以提升数学学科核心素养。