基于量子多目标优化算法的回焊炉炉温设计

周文婷，司玉鹏，何宏舟，王荣杰

(1.集美大学，福建省能源清洁利用与开发重点实验室，厦门，361021；2.集美大学，福建省清洁燃烧与能源高效利用工程技术研究中心，厦门，361021；3.集美大学，厦门，361021)

0 序言

回焊炉炉温曲线反映了焊接过程中焊点的温度变化情况[1]，影响炉温曲线调节的因素一般有炉温曲线峰值温度、升温速率、电路板上的温度分布、预热时间等[2-5].若回焊炉各小温区温度调节不良，会导致电路板变色变形、空洞、润湿不良等，影响产品焊接质量和可靠性[6]，因此可以通过对炉温曲线的优化设计来提高焊接质量.

针对炉温曲线优化设计，李楠等人[7]在RSS(Ramp-Soak-Spike)升温-保温-峰值曲线基础上，利用牛顿冷却定律建立传热模型，运用数值计算的方法进行求解，得到通过控制传送带速度和温区温度会提高焊接质量的结论，获得了模拟炉温曲线，但该方法未考虑温区间隙对回焊炉温度场的影响，会导致最终炉温曲线在相邻温区过渡时仿真效果较差.王明泉等人[8]基于傅里叶定律建立一维偏微分热传导模型，运用有限差分法求解炉温曲线优化参数，研究如何通过控制温区温度提高产品质量，为实际生产提供理论支持，但该求解方法的计算精度还有待提高.方灏航等人[9]利用Fourier 定律和牛顿冷却定律，建立炉温曲线差分模型，运用模拟退火算法全局寻优，获得高经济效益基础上的最大过炉速度和各温区的最优稳定温度，然而模拟退火算法可能无法得到全局最优解，影响计算结果.Lei 等人[10]建立热传导方程模型，使用经典粒子群算法计算热导率并进行误差分析，利用蒙特卡罗仿真(Monte Carlo simulation)[11]得到传送带的最大速度，但该算法易于陷入局部最优解，对仿真结果产生影响.祝胜光等人[12]提出一种小型智能数控回焊炉温度控制器的设计和实现方法，采用PID 算法控制温度，缩短调节时间，提高温控精度.综上可知，目前在研究炉温曲线模型参数时大多采用数值解法和传统优化算法，计算繁琐，计算结果的精确性和收敛性还有待提高；在炉温曲线优化设计时，均采用单一目标进行优化，没有综合考虑其它因素影响，整体实用性较差.因此，设计一种有效的方法来解决多目标炉温曲线优化问题十分必要.

量子粒子群优化算法(quantum particle swarm optimization，QPSO)是Sun 等人[13]基于量子力学提出的一种新的粒子群优化算法.该算法因实现简单方便、搜索高效准确、迭代收敛快速、结果预测精准、需要控制的参数少，全局搜索能力强，被广泛用于处理各种工程实际优化问题[14-17].文中运用QPSO算法，在满足制程界限的同时，以加热因子[18]最小和传送带速度最优为目标，对回焊炉炉温曲线进行优化设计，为解决目标冲突的回焊炉温区温度设置提供一种解决方案.

1 炉温曲线模型建立

1.1 基本参数

电子元器件的焊接过程会经历炉前区域、炉内区域和炉后区域.根据回焊炉内部各区段温度和功能的不同可分为预热区段、恒温区段、回流区段、冷却区段，并分为11 个小温区.环境温度为25 ℃，回焊炉各温区长度和温度见表1.

表 1 回焊炉各温区长度和温度Table 1 Length and temperature of each temperature zone in rewelding furnace

1.2 基本假设

由于受到模拟和实际研究难度的限制，将忽略回焊炉内温度场热辐射的传热；假设电路板的材料均匀，具有各向同性，忽略其内部温差，温度分布均匀；假设电路板进入温区瞬间其内部温度保持稳定且不变；由于电路板厚度较小，其沿厚度方向的热传导将忽略.

1.3 热传导模型

通过已知各小温区温度可获得回焊炉内温度随时间的数学表达式.各小温区温度恒定不变，则对应回焊炉内温度场的温度恒定不变；相邻温区若不存在温差，则温区间隙温度也恒定不变；反之，间隙温度呈线性变化.

对于回焊炉空间内的物体而言，可建立三维非稳态导热微分方程，如式(1)所示[19].

式中：τ为 时间；T为回焊炉内的温度场温度；ρ为密度；c为比热容；λ为导热系数；Φ˙为单位时间单位体积中的内热源生成热；x，y，z分别为该物体在空间x，y和z3 个方向上的坐标值.

由于各间隙的边界温度稳定不变，可将式(1)简化为一维稳态无内热源常物性导热微分方程，如式(2)所示.

对式(2)进行微分求解，可得温区间隙处的温度分布，如式(3)所示.

式中：i表示温区区段，i=0，1，2，3···；εi，βi为第i温区的常数参数；xi为炉前到第i温区与(i+1)温区之间间隙的距离；Ti表示第i温区处对应的温度场温度.

回焊炉各小温区间隙温度的线性分布如式(4)所示.

式中：v表示电路板的过炉速度；表示为从炉前到离开第i温区区段的距离；表 示从炉前到进入第i+1温区区段开始位置的距离.

1.4 电路板焊接中心温度模型

电路板进入回焊炉瞬间，其内部温度保持不变，随后焊接中心温度随时间开始发生变化，最终趋近于回焊炉的温度场温度，故可将其简化为非稳态、有内热源的导热微分方程，如式(5)所示.

式中：t为焊接中心温度；a为热扩散系数.

由于焊接中心处吸收的热量与焊接表面上的对流换热量相等，得到热平衡公式，如式(6)所示.

式中：Qa为焊接中心处吸收的热量.

采用牛顿冷却定律建立界面换热模型，如式(7)[20]所示.

式中：h(T)为回焊炉温度场内空气流体与电路板之间的对流换热系数；A为换热面积；V为体积.将式(7)化简，即

式中：θ=t(h，τ)-Ti为过余温度.边界条件为初始温度，如式(9)所示.

式中：ti为进入第i温区时焊接中心的初始温度；θi为进入第i温区时焊接中心的初始过余温度.

综上所述，可得到焊接中心处温度变化表达式，如式(10)所示[21].

式中：T∞为回焊炉温度场内经一段时间传热后恒定不变时温度场的温度；取，i=0，1，2···10，RCi的 值仅与回焊炉内流体温度有关；hi(T)表示第i温区回焊炉温度场内空气流体与电路板之间的对流换热系数.

2 多目标炉温曲线优化模型

加热因子是指使回焊炉炉温曲线温度从锡膏熔点温度到峰值温度所覆盖的面积，即回焊炉炉温曲线液相线以上的温度对时间的积分[22-24]，文中采用无铅常规锡膏，熔点为217 ℃.在建立焊接中心温度变化模型的基础上，以加热因子最小和传送带速度最大为目标，利用量子粒子群算法进行多目标优化，进而获得最优回焊炉炉温曲线.

2.1 目标函数1：加热因子最小

为使加热因子最小，建立目标函数如式(11)所示.

式中：ta为无铅常规锡膏熔点，ta=217 ℃；Scover表示加热因子；τa表示焊接中心温度第一次达到ta的时间；τmax表示焊接中心温度达到峰值温度的时间；τb表示焊接中心温度第二次达到ta的时间.

2.2 目标函数2：最优传送带速度

传送带速度最优，即在满足炉温曲线制程界限和工艺要求的前提下过炉速度最大，如式(12)所示.

式中：Vbest为电路板的最大过炉速度.

2.3 约束条件

约束条件包括传送带的过炉速度、炉温曲线的峰值温度和焊接中心温度的变化速率、预热时间、焊接区域温度超过无铅常规锡膏熔点所用时间.

实际生产时传送带速度需满足速度限值，如式(13)所示.

电路板在焊接生产过程中，炉温曲线需满足的制程界限如表2 所示.

表 2 传送带速度需满足的制程界限Table 2 Process limits for conveyor speed

3 量子粒子群算法

在量子粒子群优化算法中，将粒子的搜索空间从经典空间转化为量子空间，并使用薛定谔方程的波函数对量子空间中的粒子状态进行表述.由于局部吸引子，粒子将最终会聚集到某个区域，其如式(14)[25]所示.

式中：o为粒子数；j为解空间维数；d为迭代次数；poj(d)为局部吸引子；Goj(d)为粒子的个体最佳位置；Zj为种群的全局最佳位置；φoj(d)是区间(0，1)上具有均匀概率密度函数的随机数.

在解空间中，粒子根据量子阱和波函数给出的密度函数向阱中心收敛，然后使用式(15)和式(16)更新所有粒子.

式中：Xoj(d+1)为粒子o在第(d+1)次迭代中的位置；u为收缩扩张因子，以控制量子粒子群的收敛速度，介于[0，1]之间的服从均匀分布的随机数；Pbesdj(d)为粒子群的平均最优位置；r为在区间(0，1)上分布的随机数；M为种群规模.

为了避免人为因素对最优结果选择的影响，利用模糊隶属函数[26]从帕累托(pareto)最优解集中选择合适的加热方案.模糊隶属函数计算的综合满意度值越大，说明求解的结果越好.模糊隶属函数如式(17)所示.

式中：φk为对所有目标函数的总体满意程度，φk值越高说明解越好；表示第l个目标的帕累托最优解xm的满意度；分别为第k个目标函数的最大值和最小值；Nf为帕累托解的个数；k为目标数；Nobj为目标函数的数量[27].

基于量子多目标粒子群算法的炉温曲线优化设计的算法流程如下.

(1)设定外部档案最大储存量Lmax、种群规模M等，根据制程界限确定可行解，在可行解中随机初始化粒子群的位置.

(2)根据公式(11)和公式(12)计算适应度值，将非劣解存入外部档案中，确定粒子个体最优位置及全局最优位置.

(3)根据公式(15)和公式(16)计算粒子群的平均最优位置，并更新粒子状态.

(4)判断更新后的粒子是否满足制程界限，若满足，则根据式(11)和式(12)计算该粒子的适应度值；若不满足，则舍弃该粒子.

(5)利用pareto 原则更新非劣解集，并将其存入外部档案.

(6)利用拥挤度排序法完成外部档案更新.

(7)判断是否满足终止条件，若不满足则返回step3重复计算直到达到最大迭代次数或满足终止条件.

(8)利用模糊规则从pareto 解集中选择最终方案.

4 模型求解和结果分析

根据1.3 节建立的热传导模型通过仿真模拟获得回焊炉温度场的温度分布曲线如图1 所示.以回焊炉基本参数为基础，运用量子粒子群算法和最小二乘法拟合求解焊接中心温度变化模型中的待定参数获得模拟炉温曲线，并与测试数据进行对比，如图2 所示.电路板焊接中心温度变化分布仿真结果如图3所示.从图2～图3 可以很直观的看出，模拟炉温曲线与实测数据曲线的走势大致相同，且收敛较好，验证了所建模型的合理性.

图 1 回焊炉温度场温度分布曲线Fig. 1 Temperature distribution curve of reweld furnace temperature field

图 2 模拟炉温曲线与实测温度曲线对比Fig. 2 Comparison between simulated furnace temperature curve and measured temperature curve

图 3 电路板焊接中心温度分布图Fig. 3 Temperature distribution diagram of circuit board welding center

在上述建立的电路板焊接中心温度模型的基础上，为了验证文中提出的多目标炉温曲线优化模型的有效性，另外设置3 组比较情况如下.

(1)以无铅常规锡膏的加热因子最小为优化目标，进行炉温曲线优化设计.

(2)以最优过炉速度为优化目标，进行炉温曲线优化设计.

(3)同时以无铅常规锡膏的加热因子最小和最优过炉速度为优化目标，进行炉温曲线优化设计.

3 种不同优化设计情况对比结果如表3 所示.由表3 可以看出，文中提出的焊接中心温度变化模型可以同时考虑最优过炉速度和最小加热因子.倘若仅考虑最优过炉速度，就会导致加热因子增大，焊接区域中心温度超过无铅常规锡膏熔点的时间过长，降低焊接质量；若仅考虑最小加热因子，则会降低电路板的过炉速度，影响焊接效率.故仅考虑单一目标优化的代价就是影响其它优化目标，进而影响最终优化结果.因此，设计一种可以同时兼顾最优速度和最小加热因子两个目标的焊接中心温度变化模型，获得的最优速度为95.55 cm/min，最小加热因子为1 753.04.

表 3 3 种不同优化情况结果Table 3 Results of three different optimization conditions

以传送带过炉速度最优和加热因子最小为目标，采用量子多目标粒子群算法进行优化求解，获得各温区的最优炉温曲线如图4 所示；图4 中A，B，C，D，E 点坐标如表4 所示；各小温区最优温度值如表5 所示.

图 4 优化后的炉温曲线Fig. 4 Optimized furnace temperature curve

表 4 优化后炉温曲线内特殊点坐标值Table 4 Coordinate values of special points in the furnace temperature curve after optimization

表 5 优化后获得的最优温区温度值Table 5 Optimal temperature value of temperature zone obtained after optimization

相同焊接质量条件下，传送带速度越快越好，优化后的速度为95.55 cm/min，接近速度界限上限.在焊接过程中，为保证焊接质量，焊接区域中心温度超过217 ℃的时间不宜过长，峰值温度也不宜过高，故炉温曲线的温度峰值越低，越接近制程界限，覆盖面积越小，加热因子越小，炉温曲线越理想，优化后的峰值温度为240.01 ℃，接近温度峰值界限下限.

由图4 和表5 可知，焊接中心升温过程中位于[150 ℃，190 ℃]温度区间的时间为60.5 s，焊接中心温度位于[217 ℃，tmax]温度区间的时间为59.5 s，焊接中心温度变化速率如式(18)所示.

5 结论

(1)以回焊炉炉温曲线为研究对象，在满足制程界限和实际工艺要求的前提下，以传送带速度最优和以无铅常规锡膏的加热因子最小为目标，运用量子多目标粒子群算法对炉温曲线进行优化设计，获得了最大过炉速度和各温区的最优温度.

(2)运用量子粒子群算法和最小二乘法拟合求得焊接中心温度变化模型中的待定参数，获得的模拟炉温曲线与实测数据曲线走势大致相同且收敛较好.

(3)同时兼顾最优速度和最小加热因子两个目标优化后的电路板过炉速度为95.55 cm/min，接近速度界限上限，加热因子最小为1 753.04；优化后的炉温曲线整体呈现先上升后下降的趋势，存在一个峰值温度，该峰值温度为240.01 ℃，接近温度峰值界限下限.