基于一道试题评析课“会诊式”教学的“惑”与“获”

摘 要：在一道试题的评析课中，教师通过让学生自己分析，暴露解题中的错误（如片面性等），与教师共同参与初诊、复诊、会诊的“会诊式”教学活动，使学生在评析活动中扫清了解题过程中的各种障碍，学会解题，并能通过一道题的解答得出同种类型题的解题规律和技巧，达到触类旁通.

关键词：“会诊式”教学模式;惑;获

中图分类号：G632   文献标识码：A   文章编号：1008-0333（2022）06-0033-03

“会诊式”教学模式就是通过在课堂上呈现学生解题中出现的片面性错误或者思维障碍，由学生或老师通过初诊、复诊、（专家）会诊，然后对它做出诊断的教学模式.在当前的以核心素养为本的背景下，采用“会诊式”教学模式进行高中数学复习课教学，提高学生课堂的参与度，对培养学生的核心素养显得尤为重要，本人就最近一堂期中考试题评析课的“会诊式”教学的“惑”与“获”与大家共勉.

1 问题的提出——不识庐山真面目，只缘身在此山中

题目 设函数f（x）=ln（1+x）-1-4x2，则使得f（x）>f（2x-1）成立的x的取值范围是（  ）.

A. （-1，13）∪（1，+SymboleB@） B. （13，1）

C. （-13，13） D. （13，12）

这是期中考试卷中的一道题目，根据评卷统计结果显示，全年段有学生470人，做对的不到20人，通过与学生的交流，大部分学生不知道题目提供的信息，没有思维方向，做对的同学大都是靠猜蒙对的，

为什么会出现这种现象呢？

2 问题的初诊——横看成岭侧成峰，远近高低各不同

上课铃响了，我抛出上例.

师：同学们，你们看到此题，会想到什么？

生1：把x和2x-1代入f（x）的表达式，再解不等式.

师：这样你来帮同学分析解答一下.

生1：兴冲冲地走到黑板前，完成第一步代入后就做不下去了，无功而返.

师：强攻不行，应该智取，这时学生笑了.

那如何智取呢？这时学生2突然举起手说，题目中有绝对值符号和平方，应该跟偶函数有关，而偶函数图像关于y轴对称……，这好像又不行，只见他绕绕后脑勺，这时学生哄然大笑.

这时我不慌不忙地说：“生2同学很聪明，他向成功又迈进一步.”这时全班同学丈二和尚摸不着头脑.眼睛盯着老师，不知道老师葫芦里卖什么药.

师：因为f（-x）=ln（1+x）-1-4x2=f（x），所以可以判断函数f（x）是偶函数，那怎么又向成功又迈进了呢？

生3：既然是偶函数，那就要分下列几种情况讨论.

①x≥02x-1≥0x>2x-1，②x≥02x-1<0x>-（2x-1），

③x<02x-1≥0-x>2x-1，④x<02x-1<0-x>-（2x-1），然后求这4种情况的并集就行.

师：生3回答得很好，下面请同学们动手做一下.

教室顿时静下来，只有刷刷刷的写字声，过了几分钟，生4突然站起来说，老师，不用那么麻烦，因为f（x）是偶函数，所以f（x）=f（x），f（2x-1）=

f（2x-1），因此不等式f（x）>f（2x-1）就变为f（x）>f（2x-1）了.

师：这位同学回答得很好，我们掌声鼓励，这时课堂上掌声一片.那么我们现在面临着是如何解不等式f（x）>f（2x-1）了？

生5：要解不等式，只要判断函数的单调性就行.因为y=ln（1+x）在x∈（0，+SymboleB@）是单调递增，y=1-4x2在x∈（0，12）是单调递减，所以函数f（x）=ln（1+x）-1-4x2在x∈（0，12）是单调递增，因此不等式就变为x>2x-1了，只要两边平方一下、化简得到3x2-4x+1<0，解得13<x<1.故选B.

3 问题的复诊——峰回路转臻佳境，水到渠成开镜天

但是正确答案不是B，问题出在哪里？突然生5举起手大声说：“那函数的表达式不是没用吗？解题肯定有问题？”

师：正如数学家莱布尼茨说过：不发生作用的东西是不会存在的.既然给我们表达式，肯定有它的用途.

这时大家就开始议论纷纷，课堂开始热闹起来了，我胸有成竹地在教室里转一圈，期待着“奇迹”的发生，但是学生看到我没出声，以为解题真的“出问题”，用期盼的目光也想看看老师的丑态.这时，我不慌不忙地走到讲台上说.

师： 同学们，你们能从函数的表达式中挖掘出什么知识宝藏吗？

生6：函数的表达式隐含着定义域，可以看出函数的定义域为-12<x<12，又因为13<x<1，所以13<x<12.故选D.这时课堂上响起了热烈的掌声.

4 问题的会诊——莫让浮云遮望眼，除尽繁华识真颜

正如数学家诺瓦列斯说：“纯数学是魔术家真正的魔杖.”通过分析，我们能够从函数的表达式中找寻隐含在其中的函数的定义域，奇偶性、单调性，从而进一步解题，下面请同学整理一下.

解析 f（x）的定义域为{x|-12≤x≤12}.

∵f（-x）=ln（1+x）-1-4x2=f（x），∴函数f（x）=ln（1+x）-1-4x2為偶函数，∵y=ln（1+x）在x∈（0，+SymboleB@）是单调递增，y=1-4x2在x∈（0，12）是单调递减，

∴函数f（x）=ln（1+x）-1-4x2在x∈（0，12）是单调递增，

∴不等式f（x）>f（2x-1）等价为f（x）>f（2x-1），

∴|x|>2x-1-12<x<12-12<2x-1<12，解得x的取值范围是13<x<12，故选D.

5 问题的拓展——忽如一夜春风来，千树万树梨花开

问题1：如果函数为抽象函数呢？

拓展1：定义在R上的偶函数f（x），其导函数

f ′（x），当x≥0时，恒有x2·f ′（x）+f（-x）≤0，若

g（x）=x2·f（x），则不等式g（x）<g（1-2x）的解集为（  ）.

A.（13，1）  B.（-SymboleB@，13）∪（1，+SymboleB@）

C.（13，+SymboleB@）D.（-SymboleB@，13）

解析 ∵f（x）是定义在R上的偶函数， ∴f（-x）=f（x），∵x≥0时，恒有x2·f ′（x）+f（-x）≤0，∴x2·f ′（x）+2xf（x）≤0，∵g（x）=x2·f（x），∴g′（x）=x2·f ′（x）+2xf（x）≤0∴g（x）=x2·f（x）在[0，+SymboleB@）为减函数，∵f（x）为偶函数，∴g（x）=x2·f（x）为偶函数，∵g（x）<g（1-2x），即g（x）<g（1-2x），∴x<1-2x，∴x2>1-4x+4x2，即（x-1）（3x-1）<0，解得13<x<1.故选A.

拓展2：已知函f（x）的定義域为R，其图象关于直线x=2对称，其导函数为f ′（x），x<2时，2f（x）+（x-2）f ′（x）>0 ，则不等式（x+1）2·f（x+3）<f（3）的解集为（  ）.

A.（-SymboleB@，2）   B. （0，+SymboleB@）

C.（-2，0）  D. （-SymboleB@，2）∪（0，+SymboleB@）

解析 设g（x）=（x-2）2·f（x），则g'（x）=（x-2）[2f（x）+（x-2）f ′（x）]，

∵x<2，且2f（x）+（x-2）f ′（x）>0，∴g'（x）=（x-2）[2f（x）+（x-2）f ′（x）]<0，g（x）在（-SymboleB@.2）单调递减，

∵函数f（x）图象关于直线x=2对称，∴f（-x）=f（x+4），

∴g（-x）=（x+2）2·f（-x）=（x+2）2·f（x+4）=g（x+4），即y=g（x）关于直线x=2对称，不等式（x+1）2·f（x+3）<f（3），即是g（x+3）<g（3），

∴x+3-2<3-2=1，解得-2<x<0.故选：C.

还可以继续拓展着…….

6 问题的升华——千淘万漉虽辛苦，吹尽狂沙始到金.

数学家拉普拉斯说：“在数学中，我们发现真理的主要工具是归纳和模拟”.因为偶函数的图像是关于y轴对称，即关于直线x=0对称，因此可以归纳如下：

结论：若定义在D=[t-m，t+m]，（m>0）上的函数f（x）关于直线x=t对称，且在[t，t+m]上单调递增（或递减），且满足f（ax+b）>f（cx+d），其中常数m>0，a、b、c、d、t为常数，则ax+b∈Dcx+d∈Dax+b-t>cx+d-t（或ax+b∈Dcx+d∈Dax+b-t<cx+d-t）

如果函数是关于某点成中心对称，由于在对称中心的两边单调性相同，比较简单，限于篇幅，在此就不再评析.

7 教学感悟

在试卷讲评课上，教师可以通过简单的“告诉”让学生知道答案，也可以通过让学生自己分析，暴露解题中的错误（如片面性等），与教师共同参与初诊、复诊、会诊的“会诊式”教学活动，扫清了解题过程中的各种障碍，这比知识新授课给予学生的感觉更真实、更具体，学生更有成就感.

给学生“以上的一切”，这是F.克莱因的梦想，也是我们的梦想，习总书记关于中国梦的描述启示我们：数学教学就是圆梦之旅，发展学生的数学核心素养是课堂教学永恒的追求，这是数学教师的使命与情怀.

参考文献：

[1] 林建筑.一道差点被“错杀”的市质检好题

——高中数学复习课“会诊式”教学模式的研究[J].上海中学数学，2015（7-8 ）：31-33.

[责任编辑：李 璟]