抛物线背景下的三角形属性问题探究

王凤娥

[摘  要] 抛物线背景中的三角形属性问题十分常见，其中三角形的周长和面积问题需要转化为线段长，同时综合点坐标来构建思路. 文章将结合实例探究问题的突破策略，并反思总结，关注探究重点.

[关键词] 抛物线;三角形;属性;模型;数形结合

抛物线背景下的三角形面积和周长问题十分常见，问题突破需要合理处理条件，结合模型转化问题，下面深入探究.

问题呈现

问题 在图1所示的平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，顶点坐标M（1，-4），与x轴的交点为A和B，与y轴的交点为C（0，-3），与直线l：y=kx-k-2的交点为D和E，试回答下列问题.

（1）试求抛物线的解析式;

（2）当S=5S时，试求k的值;

（3）如图2所示，过点D作y轴的平行线，与EM的延长线相交于点F，试求当△ACF周长取得最小值时，点F的坐标.

探究解析

上述是一道抛物线与三角形相结合的综合题，共分三问，第（1）问为常规的求抛物线的解析式，后两问则是关于三角形的属性问题. 第（2）问给出了两个三角形的面积关系，求直线斜率k的值，显然考查的重点是抛物线中面积模型的构建方式;第（3）问则构建了△ACF，探究其周长取得最小值时点F的坐标，实则为线段最值问题，考查抛物线中三角形的周长转换及最值分析. 下面逐问分析，探究解题过程.

1. 聚焦曲线，待定系数破解

第（1）问求抛物线的解析式，核心解法是待定系数法，题目中给出了抛物线的顶点坐标M（1，-4），可将其解析式设为y=a（x-1）2-4，将点C（0，-3）代入解析式中，可直接解得a=1，所以抛物线的解析式为y=x2-2x-3.

深究 可将抛物线解析式变形为y=（x-3）（x+1），根据该式可直接确定抛物线与x轴的两个交点A和B的坐标，即点A（-1，0），B（3，0）.

2. 关注面积，等高公式破题

第（2）问探究面积条件下直线斜率k的取值，基本思路是基于面积模型构建关于参数k的方程，需要关注△BDE和△ADE的特点，即两个三角形具有共同的边DE，若将其视为三角形的底，则可将面积关系转化为底边上的高的关系，无须求面积.

分别过点A和B作DE的垂线，设垂足分别为点H和H，如图3所示. 则可将两个三角形视为有公共底DE，高分别为AH和BH，结合面积公式可知，当S=5S时，可得BH=5AH. 进一步分析可知△AFH∽△BFH，则两个三角形的相似比为1∶5，可知BF=5AF. 又知A（-1，0），B（3，0），可推得点F的坐标为

深究 问题突破的核心是转化出“BF=5AF”，上述综合了面积公式和三角形相似比. 若利用“铅垂模型”来分析本问题，则可直接得出结论. 从“铅垂角度”看待△ADE，则底为AF，点D和E在y轴方向的距离为铅垂高;同理可知△BDE的底为BF，点D和E在y轴方向的距离为铅垂高. 显然两个三角形的铅垂高相等，当S=5S时，可直接得出BF=5AF，无须借助三角形相似进行推导. 两种方法的转化思路虽不同，但其核心思想是一致的，均围绕“化斜为直”来进行构建.

3. 深入周长，最值模型突破

最后一问是关于周长最值的问题，由周长公式可知其实质是线段和的最值问题. 问题共分两部分：第一部分求周长的最小值;第二部分确定点F的坐标.

深究 上述在求点F的轨迹时采用了代数计算法，通过参数间的运算来完成. 而求最值时引入了“将军饮马模型”，通过对称转化来确定最值情形. 线段最值问题的难点是对动点轨迹的确定，实际解析时也可从图形特征入手，利用一些联动模型来加以确定.

反思总结

上述综合题的后两问是核心之问，分别探究抛物线背景下三角形面积关系、三角形的周长最值，其解法和思路具有一定的特点，下面深入反思.

1. 面积关系探讨

上述面积问题可归为面积倍分关系问题，破解的基本策略是“等积变形+线段转换”，即在图形中探寻直线，利用等底等高来变形三角形顶点，然后将面积倍分关系转化为线段关系. 线段转化可借助三角形相似比，也可利用三角形“铅垂”模型. 对于面积最值问题，基本策略是将其转化为关于面积参数的函数，在自变量的取值范围内，利用函数的单调性来求其最值. 而对于面积定值问题则可进行等面积转化，利用面积模型构建对应方程.

2. 周长最值探讨

上述第三问为周长最值问题，本质上实为线段和最值问题，因含有动点而增加了问题的难度，但突破的核心思路是一致的，即引入“将军饮马”模型，结合对称转换、共线原理求解. 线段最值的动点个数也是不确定的，对于单动点问题，通过一次对称即可构建三点共线，而双动点（一定两动）问题，则需要通过两次对称来实现. 另外还可拓展到含系数的线段和问题上，问题解析需优先处理其中的系数，可采用“取长补短”、倍分转化等策略，后续可将问题转变为常规的线段和问题.

关联拓展

上述总结了抛物线中三角形属性问题的破题思路，下面结合一道关联考题进行深入探究，强化解题策略.

问题 如图5，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A和B（3，0），与y轴交于点C（0，-3），其对称轴为x=1. 抛物线的顶点为D.

（1）求抛物线的解析式;

（2）分析抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得△PAC的周长最小？若存在，求出点P的坐标;若不存在，请说明理由.

（3）点E为BC上的一点，过点E作x轴的垂线，与抛物线的交点为F，试求△BCF面积的最大值.

解析 （1）简答，由条件可知抛物线的解析式为y=x2-2x-3.

（2）点P位于抛物线的对称轴上，△PAC的周长为PA+PC+AC，其中AC为定值，则只需求PA+PC的最小值，符合“将军饮马”模型，而点B是点A关于对称轴x=1的对称点，故无须作对称点. 当点B，P，C三点共线时线段和最小. 通过直线相交可得点P的坐标为（1，-2）.

（3）根据题干信息可作图6，线段EF将△BCF分割为两部分，且点B和C是定点，符合“铅垂”模型的构建方法，EF可视为“铅垂底”，点B和C的水平距离视为“铅垂高”，则可将△BCF的面积表示为S=·EF·

评析 上述同为抛物线背景下的三角形面积属性问题，其中求三角形周长最小值时同样结合了“将军饮马”模型来转化问题，而模型的方法原理是学习的关键. 题目中的三角形面积的最值问题，采用“铅垂”模型来构建面积函数，由函数性质来求最值，理解“铅垂”模型的高和底是关键.

总结思考

周长与面积是三角形的屬性，也是初中数学研究的关键内容，将其与抛物线相结合，赋予其“数”与“形”的特性，则数形结合是重要的破题方法，探究学习中需要关注以下两点.

关注点1：关注“点坐标”的桥梁作用，抛物线中的三角形问题与常规几何问题最大的区别是融合了曲线，而解析式赋予了曲线代数属性. 问题解析需要建立如下转换思路：“解析式⇔点坐标⇔线段长或距离⇔面积或周长”，即利用点坐标可推导三角形的属性，同时可逆推求直线或曲线的解析式，这也是待定系数的方法体现.

关注点2：关注图像中的模型，抛物线与几何问题的图像较为复杂，问题突破要关注其中的模型，通过图形拆解提取模型，从而有针对性地分析问题、构建思路. 具体分析时建议采用数形结合的策略，结合题干信息理解图形，把握图形特征来转化条件.