性质教学中数学抽象素养的培养
2022-03-28李玲李红梅
李玲 李红梅
[摘 要] 数学性质的教学是培养数学抽象素养的重要载体，本质属性的抽取，数学性质的抽象概括、数学表达、数学应用等环节都是培养数学抽象素养的良好契机. 在数学性质的课堂教学中，培养数学抽象素养的策略有：利用直观想象，将抽象过程可视化;归纳整理知识，将抽象结果结构化;多维变式例题，将抽象结果理解深化.
[关键词] 数学抽象;直观想象;变式;数学性质
问题提出
目前，数学教育仍存在短板，一定程度上导致教育发展不均衡，从而无法切实将“立德树人”这一根本任务落到实处，为解决这一现状，引入数学核心素养，促使课堂教学从应试教育向素质教育过渡，打破僵硬、陈旧的教学[1]. 数学抽象素养是基本素养，也是核心素养，抽象作为基本思想，贯穿于数学概念和法则的教学[2]，而性质教学是数学抽象内容的一部分. 在义务教育阶段，教授者应指导学习者在性质教学中学会抽象，能够拓展数学抽象思维，为数学抽象素养的形成做铺垫. 本文依据图像探究，在性质形成过程中对相关数学对象进行抽象，进一步提出对数学抽象素养的培养建议.
性质教学中数学抽象素养的培养
数学性质的学习属于抽象性学习，学生对于这一块的学习往往理解含糊，没有敏捷的思维能力进行分析，无法进一步探究复杂多变的问题. 初中阶段，由于学生还未形成正確的抽象意识，缺乏数学抽象思维，从而无法从基本图像中抽象性质属性.
1. 知识结构分析
“反比例函数的图像与性质”是人教版初中数学实验教科书九年级下册第二十六章第一节“反比例函数”的内容. 以该节课本主体内容为例，通过性质构建过程的逐次递进，探析在教学中怎么培养学习者的数学抽象素养.
平面直角坐标系、一次函数和二次函数的学习在反比例函数之前，学生接续已学知识，向前迈向新的一步，“接纳”新函数，联系一次函数、二次函数性质的学习方法，通过类比慢慢转接到对反比例函数性质的学习，认真体会新函数的内涵，充分感受由“静”到“动”的过程[3];再者，函数性质的学习，包含了数形结合思想、建模思想，具有实践性、探索性，为后续内容联系、应用打下基础.
2. 性质构建过程
数学性质形成过程中，学生应在教师的引导下不断分析问题，逐级抽象数学性质，揭开数学知识的神秘面纱. 正比例函数是学生刚开始接触的函数，也是突破函数性质的第一关卡，为后续函数性质的学习提供了有效的学习途径. 正比例函数性质的学习大致通过这样的性质构建过程：实际问题引入具体函数解析式→利用“描点”的方法作出图像→观察图像并抽取函数本质特征→采用文字语言归纳和总结性质→讲解例题促进学生理解性质[4]. 学生又先后学习一次函数、二次函数，具有一定的知识储备，一是知道如何由数想形，以解析式为基础，观察、探析所画函数图像;二是探究函数性质时，需要数形结合[5]，进而抽象表达出性质;三是通过观察不同函数的图像，知道不同函数所生成图像的特点.
学习反比例函数性质，学生可根据先前所获经验，在其性质形成过程中对相关数学对象进行抽象，以利于性质的获得. 在此以正比例函数性质构建过程为基础，提出反比例函数的性质构建过程：
以下将联系反比例函数性质构建过程，分析教材内容，基于教材展示数学探究活动，让学生经历完整的抽象过程[6].
（1）直观感知，抽取本质特征
例题1 画出反比例函数y=与y=的图像[7].
问题1：用什么方法能画出上述函数的图像？
对于课本中的例题2，先让学生回顾正比例函数的学习方法，有利于学生进行类比迁移. 根据学生的认知水平，他们已知能由描点法进行刻画，也已知前几类函数图像的特征. 画出反比例函数图像后，学生可进一步观察、分析图像特点，以达到利用图像的可视化进行外部刺激的效果，顺利完成“辨别图像刺激”;学生通过观察两个具体图像，感知函数的性质，确定图像形状与所分布象限，同时发现函数值y仍随着自变量x的变化而变化，这是学生能从正比例函数图像和二次函数图像中迁移过来的特征，即满足“分化函数图像属性”这一步.
（2）抽象概括，获得数学性质
问题2：观察上述图像，回答：
①每个函数的图像所在象限？
②在每一个象限内，y如何由x的变化而变化？根据解析式，你能说明理由吗？
③对于反比例函数y=（k>0），考虑①和②，得出的结论是一样的吗？[7]
第一，类化与抽象. ①和②的设置，可以完成数学抽象过程中的“类化”与“抽象”. 观察两个函数图像，函数y=与y=的图像均分布于两个象限，即第一象限和第三象限，分别分析两个象限内的函数值变化，图像从左至右看，函数值从上到下逐渐减小. 此时利用图形直观的方式表现了k>0时反比例函数图像的特点，得到他们的共同属性：处于第一象限、第三象限与“减小”. 在类化函数图像共同属性的基础上，进一步采取特殊到一般的方法，引导学生从具体例子中抽象出反比例函数y=（k>0）的基本性质.
第二，概括与表达. 对于③，是为完成数学抽象过程中的“概括”与“符号表达”，通过比较、归纳具体实例，用文字语言将关键词进行串联，概括表述性质：引导学生将图形语言转换为自然语言，讨论自变量x与其函数值y之间的关系. 对于例题2中反比例函数y=，学生学会用自然语言描述图像，即“函数y=的图像在这两个象限内，随着x的增大，y减小”. 全体学生获得了用文字语言描述数学性质的能力，以此为基础，教师需要教会部分学优生用符号语言进行表述. 利用数学符号，学优生能够描述反比例函数y=（k>0）性质中“减小”这一特点. 对于特殊函数y=，用符号语言表述“在每一个象限内，任取两数x，x，令x
第三，类比与定义. 类比正比例函数y=kx与反比例函数y=（k>0）的性质探究，采用同样的方法，对于k<0的情况，教师可以同学生一起定义其性质：“当k<0时，反比例函数y=的图像位于第二象限和第四象限，每一个象限内，y随x的增大而增大”. 转换为符号语言“当k<0时，反比例函数y=的图像分别位于第二象限和第四象限，那么在每一个象限内任取x，x，得y=，y=，当x
（3）归纳整理，表达数学性质
一般地，反比例函数y=的图像是双曲线，它具有以下性质：
①k>0时，双曲线的两支分别位于第一象限与第三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小;
②k<0时，双曲线的两支分别位于第二象限与第四象限，在每一个象限内，y随x的增大而增大. [7]
教材归纳，是为达到数学抽象阶段的“理论形成”，首先，将反比例函数图像与双曲线相结合，有益学习者联系新知与旧知，并促进其对知识的再认知. 再者，通过上述阶段的逐级抽象，最后得到一般性结论，阐述了反比例函数的性质，以及如何表达数学性质，形成了完整的理论.
（4）例题变式，理解抽象结果
例题2 已知反比例函数y=图像的一支（如图5）. 问：①图像的另一支在哪个象限？常数m的取值范围是什么？②在图像的一支上随意取点A（x，y）和点B（x，y），若x>x，那么y和y有怎样的大小关系？[7]
这个题目是为了了解学生对数学性质的理解与运用程度. 对于问题①，学生通过讨论图像分布象限，探究m的取值范围，实质是对反比例函数中k的讨论;对于问题②，学生已知图像的分布，可直接根据性质定义判断得到在每一个象限任取x，x，当x>x，都有y 变式1：已知反比例函数y=过点A（-2，-1），m的值是多少？图像位于哪些象限？ 变式2：点A（2，y），（5，y）在反比例函数y=上，比较y和y的大小. 变式3：已知反比例函数y=，问：①探究常数m的取值范围，观察此时函数图像的分布情况. ②在图像某一支上任取两点M（x，y），N（x，y），若x 变式1简单改变函数解析式，将例题中给出图像变化变为给出点坐标，引导学生通过点的坐标求解问题;变式2通过判断m2+3的值与0的关系确定图像所在象限，再根据给出的不同x值对相应y值进行比较，需要注意此题无关具体关系式的求解;变式3需要学生综合考虑，分类讨论m-5的符号，进而解答疑问. 例题及变式的设置，是为了“理解”与“应用”. 学生学习新知，教师需要综合教材内容与学生学情，通过逐次递进的变式，引导学生探究知识的“来龙去脉”[8]. 两个例题的设置均以反比例函数图像性质为中心，突出其本质，利用性质定义解题，学生能对学习内容有更清晰的理解，实现学习目标. 再者，上述变式通过例2进行衍生，促使学生更好地理解本节知识，更好地掌握抽象结果. 通过变式，学生在反比例函数性质的学习构建过程中，多角度思考问题，知道在问题解决过程中从图像出发，但不局限于用图像解决问题，从而理解从图像中所抽象出来的性质，学会运用性质定义，同时，掌握相关数学方法，积累数学经验. 教学建议 基于对性质教学中具体数学内容的探析，笔者给出三个教学建议. 1. 利用直观想象，将数学抽象过程可视化 直观想象是数学抽象的基础，采用直观手段，学生进一步借助直观进行想象，有利于学生进行数学抽象，从感性认识上升到理性认识. 通过数学抽象的过程，学生直观感知，察看、分解问题，领会所学知识，解决问题：首先，积极思考，主动参与学习探究，分析所提供的直观材料，从图像中抽取事物的本质特征;其次，结合信息技术教学，学生体会图形的动态变化过程，简化题设中的问题;最后，从数学抽象中明白将实质问题转化为数学问题，形成正确认识. 教师应充分调动学生的直观认知，引导学生有意识地利用直观想象探究知识的产生与发展，使学生有效掌握抽象事物的形成过程，逐渐形成数学抽象素养. 2. 归纳整理知识，将数学抽象结果结构化 知识结构展示了相关知识间的内在联系，給予学生清晰的知识线，归纳整理知识结构，有利于知识系统化、知识整体化、知识简易化. 数学抽象素养蕴含在丰富的教学内容中，这就要求教师在教学中帮助学生厘清知识间的脉络，获得抽象方法，利用图示促使学生理解记忆. 新知的学习是在旧知的铺垫下进行的，学生应当学会“读”材料，“析”材料，注意抽象知识之间的层次分节，同化或顺应知识，表达数学抽象结果，纳入相关知识系统，将其结构化，促进自身的思维训练，这有利于知识之间的正迁移，对其他具体数学内容也能进行逐级抽象. 如本文对反比例函数性质的学习，接续对变量、函数的初步了解，以及对其概念的掌握，更深层次地基于图像抽象性质，为之后学习各类函数提供了基础方法，同时，广泛应用于函数、方程、不等式中. 3. 多维变式例题，将数学抽象结果理解深化 例题构成了教学内容，是不可或缺的一部分，是对某一知识具体运用的体现，较为集中地体现了其特点、思想和要领等，浅显易懂地呈现在学生眼前. 学生通过解答例题，能够熟悉概念定义、公式定理等，明晰相关符号语言的表示意义，形成正确的知识体系，突出数学对象的本质. 对例题的变式，能够加强知识间的关联性，串联零散的知识点，让学生感受知识生长过程的同时，可以多维度强化数学知识，感知数学抽象素养，提高认识力，促进他们对数学抽象结果的深化理解. 此外，进行知识教学，应避免“解题教学”，变式以例题为基准，设计以本堂课中心内容为主线、以学生理解抽象结果为目标的问题，并非强调解题技巧、解题速度. 结束语 本文以反比例函数为例，利用直观想象、归纳整理和例题变式等活动开展教学，将抽象过程可视化，抽象结果结构化，使学生的数学理解深刻化，从而展现性质教学中数学抽象素养的培养过程. 这一知识构建过程适用于数学性质教学，如一次函数的性质、二次函数的性质等. 当然，根据实际教学情境的不同，具体教学设计也应有所变化，例如在直观想象的过程中，仅从图像角度进行教学设计有其局限性，抽象过程可视化的方法还有很多，还有待进一步研究. 参考文献： [1] 钱瑶强. 基于数学核心素养下的高效课堂教学的策略研究[J]. 数学教学通讯，2021（12）：43-44. [2] 中华人民共和国教育部. 义务教育数学课程标准（2011年版）[M]. 北京：北京师范大学出版社，2012. [3] 罗增儒. “反比例函数”的课堂研修[J].中学数学教学参考，2020（08）：12-17. [4] 黄欲涵.概念自然生成，实践分析特性——以“正比例函数”的教学为例[J].数学教学通讯，2018（23）：59-60+67. [5] 毛大平，应佳成. 为学生的数学理解而教——“一次函数的图象”教学设计[J].中国数学教育，2020（23）：13-17. [6] 邓翰香，吴立宝，沈婕. 指向数学抽象素养的教材分析框架与案例剖析——以人教A版“函数单调性”为例[J]. 数学通报，2019，58（10）：33-38. [7] 人民教育出版社. 义务教育教科书数学九年级下册[M]. 北京：人民教育出版社，2018. [8] 马志洲. 构建深度学习课堂，促进数学核心素养的养成——以“反比例函数等积模型”教学为例[J]. 数学教学通讯，2020（20）：27-28+75.
